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京都大学 情報学研究科 システム科学専攻 2010年8月実施 専門科目 制御工学

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犬 (finalized by 祭音Myyura with assistance from GPT 6 Astra)

Description​

問題1​

伝達関数 3/(s+2)3/(s+2) のゲイン KK と時定数 TT を求め、これらを明示したステップ応答の概形を描け。

問題2​

図1の負帰還系について答えよ。ただし P(s)=1/(s+1)3P(s)=1/(s+1)^3 とする。

図1：ゲイン K と P(s) の単位負帰還系

(1) P(jω)P(j\omega) のベクトル軌跡（ω:0→∞\omega:0\to\infty）の概形を描け。始点、終点、実軸との交点の座標とその角周波数を明示せよ。

(2) ナイキストの安定判別法を説明し、(1) に基づいて K=0.8K=0.8 の安定性を判別せよ。安定ならゲイン余裕を dB で求めよ。

(3) K=4K=4、r(t)=2sin⁡tr(t)=2\sin t のとき、定常出力が y(t)=asin⁡(bt+c)y(t)=a\sin(bt+c) であった。(a,b,c)(a,b,c) を求めよ。

問題3​

補償要素の伝達関数は (s2+11s+10)/s(s^2+11s+10)/s である。

(1) 角周波数 0.01≤ω≤10000.01\le\omega\le1000 のゲイン線図を描け。折れ線近似でよい。

(2) この要素を PID 補償という。一般にどのような目的で用いるか述べ、I 補償、D 補償の役割も説明せよ。

题目描述​

问题1 求系统 3/(s+2)3/(s+2) 的直流增益 KK、时间常数 TT，并在阶跃响应图中标明。

问题2 图1为 KK 与 P(s)=1/(s+1)3P(s)=1/(s+1)^3 串联后的单位负反馈系统。(1) 画出 ω\omega 从零到无穷时的 P(jω)P(j\omega) 轨迹，标出起终点、与实轴的交点及相应频率。(2) 说明 Nyquist 稳定判据，据图判断 K=0.8K=0.8 是否稳定，稳定时求以 dB 为单位的增益裕度。(3) 当 K=4,r(t)=2sin⁡tK=4,r(t)=2\sin t 时，稳态输出为 asin⁡(bt+c)a\sin(bt+c)，求 (a,b,c)(a,b,c)。

问题3 补偿器为 (s2+11s+10)/s(s^2+11s+10)/s。(1) 画出频率 0.010.01 至 10001000 的幅频增益图，可以用渐近折线。(2) 说明 PID 补偿的目的，以及积分 I、微分 D 的作用。

Kai​

問題1​

3s+2=3/21+s/2⟹K=32,T=12.\frac3{s+2}=\frac{3/2}{1+s/2} \quad\Longrightarrow\quad\boxed{K=\frac32,\quad T=\frac12}.

単位ステップ応答は y(t)=32(1−e−2t), t≥0\boxed{y(t)=\frac32(1-e^{-2t}),\ t\ge0}。y(T)=K(1−e−1)y(T)=K(1-e^{-1})、初期接線は時刻 TT で最終値 KK と交わる。

一次遅れのステップ応答と P(jω) のベクトル軌跡

問題2​

(1) 実部と虚部は

P(jω)=1−3ω2+i(ω3−3ω)(1+ω2)3.P(j\omega)=\frac{1-3\omega^2+i(\omega^3-3\omega)}{(1+\omega^2)^3}.

始点は (1,0) (ω=0)\boxed{(1,0)\ (\omega=0)}。下半面から出発し、(−1/8,0) (ω=3)\boxed{(-1/8,0)\ (\omega=\sqrt3)} で実軸を横切り、上半面から (0,0) (ω→∞)\boxed{(0,0)\ (\omega\to\infty)} に近づく。

(2) 開ループ L=KPL=KP の右半平面極の個数と、ナイキスト軌跡の −1-1 の回りの周回数から、1+L1+L の右半平面零点、すなわち閉ループの不安定極の個数を判定する。ここでは開ループに右半平面極はなく、K=0.8K=0.8 の軌跡は −1-1 を囲まないので閉ループは安定。

位相が −π-\pi となる ω=3\omega=\sqrt3 で ∣KP∣=0.8/8=0.1|KP|=0.8/8=0.1。従って

GM=20log⁡1010.1=20 dB.\boxed{GM=20\log_{10}\frac1{0.1}=20\ \mathrm{dB}}.

(3) 閉ループ伝達関数は H(s)=4/[(s+1)3+4]H(s)=4/[(s+1)^3+4]。H(j)=4/(2+2j)=1−j=2e−jπ/4H(j)=4/(2+2j)=1-j=\sqrt2e^{-j\pi/4} より

y(t)=22sin⁡(t−π/4),(a,b,c)=(22,1,−π/4).\boxed{y(t)=2\sqrt2\sin(t-\pi/4)},\qquad \boxed{(a,b,c)=(2\sqrt2,1,-\pi/4)}.

問題3​

(1) C(s)=(s+1)(s+10)/s=10(1+s)(1+s/10)/sC(s)=(s+1)(s+10)/s=10(1+s)(1+s/10)/s。折点は 1,101,10 であり、ゲインの折れ線近似は

20log⁡10∣C(jω)∣≃{20−20log⁡10ω,ω<1,20,1≤ω≤10,20log⁡10ω,ω>10.\boxed{20\log_{10}|C(j\omega)|\simeq\begin{cases} 20-20\log_{10}\omega,&\omega<1,\\20,&1\le\omega\le10,\\20\log_{10}\omega,&\omega>10. \end{cases}}

PID 補償器のゲイン線図：厳密曲線と折れ線近似

(2) C(s)=11+10/s+sC(s)=11+10/s+s なので P、I、D の三要素を組み合わせ、追従性、定常精度、過渡応答を調整する。I は誤差を積算し、安定な閉ループでステップ目標値・定値外乱に対する定常偏差を減らす。D は誤差の変化率に応じて作用し、位相進みと減衰を与えて過大な振動や行き過ぎを抑える。

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