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京都大学 情報学研究科 システム科学専攻 2009年8月実施 数学【II】

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Author​

犬 (finalized by 祭音Myyura with assistance from GPT 6 Astra)

Description​

問1​

n,Nn,N は自然数とする。

(i) f(x)=ex−∑k=0nxk/k!f(x)=e^x-\sum_{k=0}^n x^k/k! の符号を調べ、x>0x>0 で ∑k=0nxk/k!<ex\sum_{k=0}^n x^k/k!<e^x を示せ。

(ii) g(x)=ex−(x/n)ex−∑k=0nxk/k!g(x)=e^x-(x/n)e^x-\sum_{k=0}^n x^k/k! の符号を調べ、x>0x>0 で ∑k=0nxk/k!>ex−(x/n)ex\sum_{k=0}^n x^k/k!>e^x-(x/n)e^x を示せ。

(iii) 関数 F(t)F(t) を

F(t)=∫0t∣e−x∑k=02Nxkk!−1∣ dxF(t)=\int_0^t\left|e^{-x}\sum_{k=0}^{2N}\frac{x^k}{k!}-1\right|\,dx

により定義する。(i)、(ii) の結果を使い、F(t)=NF(t)=N が区間 (N,2N)(N,2N) に少なくとも一つ解をもつことを示せ。

問2​

ff は区間 [a,b][a,b] 上で微分可能、f′f' は連続で、f(a)=0f(a)=0 とする。

(i) a≤x≤ba\le x\le b において g(x)=∫ax∣f′(t)∣ dtg(x)=\int_a^x|f'(t)|\,dt とおく。∣f(x)∣≤g(x)|f(x)|\le g(x) を示せ。

(ii) (i) と ∣f′(x)∣=g′(x)|f'(x)|=g'(x)、g(a)=0g(a)=0 を用いて、次を示せ。

∫ab∣f(x)f′(x)∣ dx≤b−a2∫ab[f′(x)]2 dx.\int_a^b|f(x)f'(x)|\,dx\le\frac{b-a}{2}\int_a^b[f'(x)]^2\,dx.

题目描述​

问1​

设 n,Nn,N 为正整数。

(i) 考察 f(x)=ex−∑k=0nxk/k!f(x)=e^x-\sum_{k=0}^n x^k/k! 的符号，证明 x>0x>0 时 ∑k=0nxk/k!<ex\sum_{k=0}^n x^k/k!<e^x。

(ii) 考察 g(x)=ex−(x/n)ex−∑k=0nxk/k!g(x)=e^x-(x/n)e^x-\sum_{k=0}^n x^k/k! 的符号，证明 x>0x>0 时 ∑k=0nxk/k!>ex−(x/n)ex\sum_{k=0}^n x^k/k!>e^x-(x/n)e^x。

(iii) 定义

F(t)=∫0t∣e−x∑k=02Nxkk!−1∣ dx.F(t)=\int_0^t\left|e^{-x}\sum_{k=0}^{2N}\frac{x^k}{k!}-1\right|\,dx.

利用 (i)、(ii) 证明方程 F(t)=NF(t)=N 在 (N,2N)(N,2N) 内至少有一个解。

问2​

ff 在 [a,b][a,b] 上可微，f′f' 连续且 f(a)=0f(a)=0。

(i) 令 g(x)=∫ax∣f′(t)∣ dtg(x)=\int_a^x|f'(t)|\,dt，证明 ∣f(x)∣≤g(x)|f(x)|\le g(x)。

(ii) 利用 (i) 及 ∣f′∣=g′|f'|=g'、g(a)=0g(a)=0，证明 ∫ab∣ff′∣ dx≤b−a2∫ab(f′)2 dx\int_a^b|ff'|\,dx\le\frac{b-a}{2}\int_a^b(f')^2\,dx。

Kai​

問1​

(i) f(n)(x)=ex−1>0f^{(n)}(x)=e^x-1>0、f(j)(0)=0f^{(j)}(0)=0（0≤j≤n0\le j\le n）である。順次積分すれば f(x)>0f(x)>0 を得る。

(ii) 0≤j≤n0\le j\le n について

g(j)(x)=(1−x+jn)ex−∑k=0n−jxkk!.g^{(j)}(x)=\left(1-\frac{x+j}{n}\right)e^x-\sum_{k=0}^{n-j}\frac{x^k}{k!}.

特に g(n)(x)=−(x/n)ex−1<0g^{(n)}(x)=-(x/n)e^x-1<0、g(j)(0)=−j/n≤0g^{(j)}(0)=-j/n\le0。順次積分すれば g(x)<0g(x)<0 となる。

(iii) この命題は、表示された FF の定義では成り立たない。(i)、(ii) に n=2Nn=2N を代入すると、x>0x>0 において

0<1−e−x∑k=02Nxkk!<x2N.0<1-e^{-x}\sum_{k=0}^{2N}\frac{x^k}{k!}<\frac{x}{2N}.

よって 0<t≤2N0<t\le2N ならば

F(t)<∫0tx2N dx=t24N≤N.F(t)<\int_0^t\frac{x}{2N}\,dx=\frac{t^2}{4N}\le N.

したがって、区間 (N,2N)(N,2N) に F(t)=NF(t)=N の解は存在しない。

問2​

(i) 微積分学の基本定理と積分の三角不等式より

∣f(x)∣=∣∫axf′(t) dt∣≤∫ax∣f′(t)∣ dt=g(x).|f(x)|=\left|\int_a^xf'(t)\,dt\right|\le\int_a^x|f'(t)|\,dt=g(x).

(ii) g′≥0g'\ge0 とコーシー・シュワルツの不等式より

∫ab∣ff′∣ dx≤∫abgg′ dx=g(b)22=12(∫ab∣f′(x)∣ dx)2≤b−a2∫ab[f′(x)]2 dx.\begin{aligned} \int_a^b|ff'|\,dx &\le\int_a^bgg'\,dx=\frac{g(b)^2}{2}\\ &=\frac12\left(\int_a^b|f'(x)|\,dx\right)^2 \le\frac{b-a}{2}\int_a^b[f'(x)]^2\,dx. \end{aligned}
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