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京都大学 情報学研究科 システム科学専攻 2009年8月実施 数学【I】

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犬 (finalized by 祭音Myyura with assistance from GPT 6 Astra)

Description​

問1​

n×nn\times n 実行列 A,BA,B について、以下を証明せよ。上付きの −1-1 は逆行列を表す。

(i) A+BA+B が正則ならば A(A+B)−1B=B(A+B)−1AA(A+B)^{-1}B=B(A+B)^{-1}A。

(ii) A,BA,B がともに正則ならば A−1+B−1=A−1(A+B)B−1A^{-1}+B^{-1}=A^{-1}(A+B)B^{-1}。

(iii) A,B,A+BA,B,A+B がすべて正則ならば (A−1+B−1)−1=A(A+B)−1B(A^{-1}+B^{-1})^{-1}=A(A+B)^{-1}B。

問2​

n≥2n\ge2 とし、n×nn\times n 三重対角行列 AnA_n の対角成分は (n,n)(n,n) 成分だけが 11、残りが 22、隣接する上下の成分は −1-1、その他の成分は 00 とする。

(i) 次の逆行列を求めよ。

A2=(2−1−11),A3=(2−10−12−10−11).A_2=\begin{pmatrix}2&-1\\-1&1\end{pmatrix},\qquad A_3=\begin{pmatrix}2&-1&0\\-1&2&-1\\0&-1&1\end{pmatrix}.

(ii) An−1A_n^{-1} を求め、実際に逆行列であることを示せ。

問3​

A=(0110)A=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix} とする。

(i) A=Pdiag⁡(λ1,λ2)P−1A=P\operatorname{diag}(\lambda_1,\lambda_2)P^{-1}、λ1≥λ2\lambda_1\ge\lambda_2 を満たす実数 λ1,λ2\lambda_1,\lambda_2 と行列 PP を求めよ。PP は一つ求めればよい。

(ii) 実数 tt について、(i) を用いて次を求めよ。ただし II は単位行列である。

exp⁡(tA)=lim⁡n→∞(I+tnA)n.\exp(tA)=\lim_{n\to\infty}\left(I+\frac{t}{n}A\right)^n.

题目描述​

问1​

设 A,BA,B 为 nn 阶实矩阵，证明：

(i) 若 A+BA+B 可逆，则 A(A+B)−1B=B(A+B)−1AA(A+B)^{-1}B=B(A+B)^{-1}A。

(ii) 若 A,BA,B 都可逆，则 A−1+B−1=A−1(A+B)B−1A^{-1}+B^{-1}=A^{-1}(A+B)B^{-1}。

(iii) 若 A,B,A+BA,B,A+B 都可逆，则 (A−1+B−1)−1=A(A+B)−1B(A^{-1}+B^{-1})^{-1}=A(A+B)^{-1}B。

问2​

n≥2n\ge2。三对角矩阵 AnA_n 的主对角线除最后一项为 11 外均为 22，紧邻主对角线两侧的元素均为 −1-1，其余为 00。

(i) 求 A2=(2−1−11)A_2=\begin{pmatrix}2&-1\\-1&1\end{pmatrix} 和 A3=(2−10−12−10−11)A_3=\begin{pmatrix}2&-1&0\\-1&2&-1\\0&-1&1\end{pmatrix} 的逆矩阵。

(ii) 求一般的 An−1A_n^{-1}，并验证其确为逆矩阵。

问3​

设 A=(0110)A=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}。

(i) 求 λ1≥λ2\lambda_1\ge\lambda_2 和一个可逆矩阵 PP，使 A=Pdiag⁡(λ1,λ2)P−1A=P\operatorname{diag}(\lambda_1,\lambda_2)P^{-1}。

(ii) 对实数 tt，利用 (i) 求 exp⁡(tA)=lim⁡n→∞(I+tA/n)n\exp(tA)=\lim_{n\to\infty}(I+tA/n)^n，其中 II 为单位矩阵。

Kai​

問1​

(i) C=A+BC=A+B とおくと、

AC−1B=(C−B)C−1B=B−BC−1B=BC−1(C−B)=BC−1A.AC^{-1}B=(C-B)C^{-1}B=B-BC^{-1}B=BC^{-1}(C-B)=BC^{-1}A.

(ii) 分配法則より A−1(A+B)B−1=B−1+A−1A^{-1}(A+B)B^{-1}=B^{-1}+A^{-1}。

(iii) (ii) の右辺は正則行列の積であるから、(i) と併せて

(A−1+B−1)−1=B(A+B)−1A=A(A+B)−1B.(A^{-1}+B^{-1})^{-1}=B(A+B)^{-1}A=A(A+B)^{-1}B.

問2​

(i)

A2−1=(1112),A3−1=(111122123).A_2^{-1}=\begin{pmatrix}1&1\\1&2\end{pmatrix},\qquad A_3^{-1}=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&2&2\\1&2&3\end{pmatrix}.

(ii) 答えは B=(bij)B=(b_{ij})、bij=min⁡(i,j)b_{ij}=\min(i,j) である。b0j=0b_{0j}=0 とすれば、i<ni<n について

(AnB)ij=2bij−bi−1,j−bi+1,j=δij,(A_nB)_{ij}=2b_{ij}-b_{i-1,j}-b_{i+1,j}=\delta_{ij},

最終行では (AnB)nj=bnj−bn−1,j=δnj(A_nB)_{nj}=b_{nj}-b_{n-1,j}=\delta_{nj}。よって AnB=IA_nB=I となり、An−1=BA_n^{-1}=B。

問3​

(i) 固有値は 1,−11,-1 であり、

λ1=1,λ2=−1,P=(111−1),P−1=12P.\lambda_1=1,\quad\lambda_2=-1,\quad P=\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix},\quad P^{-1}=\frac12P.

(ii) (i) の対角化を用いると

(I+tnA)n=P((1+t/n)n00(1−t/n)n)P−1⟶P(et00e−t)P−1.\left(I+\frac tn A\right)^n =P\begin{pmatrix}(1+t/n)^n&0\\0&(1-t/n)^n\end{pmatrix}P^{-1} \longrightarrow P\begin{pmatrix}e^t&0\\0&e^{-t}\end{pmatrix}P^{-1}.

したがって

exp⁡(tA)=(cosh⁡tsinh⁡tsinh⁡tcosh⁡t).\boxed{\exp(tA)=\begin{pmatrix}\cosh t&\sinh t\\\sinh t&\cosh t\end{pmatrix}}.
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