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京都大学 情報学研究科 システム科学専攻 2008年8月実施 工業数学

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犬 (finalized by 祭音Myyura with assistance from GPT 6 Astra)

Description​

問題1​

(1) w=2x2−2y2w=2x^2-2y^2 を z=x+iy,zˉ=x−iyz=x+iy,\bar z=x-iy で表せ。

(2) 原点を中心とする半径 r>0r>0 の円を z=rz=r から z=−rz=-r まで反時計回りに進む曲線を CC とする。∣∫Cdz/z∣|\int_C dz/z| を求めよ。

(3) f(z)=(z2+z+1)/{z2(z+1)}f(z)=(z^2+z+1)/\{z^2(z+1)\} の各特異点における留数を求めよ。

(4) 複素積分を用いて I=∫−∞0dx/(ax2+1)I=\int_{-\infty}^0dx/(ax^2+1)（a>0a>0）を求めよ。

問題2​

次の各複素関数が正則となる条件と、そのときの導関数を求めよ。x=Re⁡z,y=Im⁡zx=\operatorname{Re}z,y=\operatorname{Im}z、a,b,c,q,ra,b,c,q,r は実定数とする。

(1) x(x2−ay2)+iy(bx2−y2)x(x^2-ay^2)+iy(bx^2-y^2)。

(2) x/(x2+y2)−iy/(x2+y2)x/(x^2+y^2)-iy/(x^2+y^2)。

(3) z2+czˉ2z^2+c\bar z^2。

(4) e−y(cos⁡qx+isin⁡qx)e^{-y}(\cos qx+i\sin qx)。

(5) ∑n=1∞rnzn\sum_{n=1}^\infty r^nz^n。

题目描述​

问题1​

(1) 用 z=x+iyz=x+iy 和 zˉ=x−iy\bar z=x-iy 表示 w=2x2−2y2w=2x^2-2y^2。

(2) CC 是以原点为圆心、半径 r>0r>0，从 rr 逆时针至 −r-r 的上半圆弧。求 ∣∫Cdz/z∣|\int_Cdz/z|。

(3) 求 f(z)=(z2+z+1)/[z2(z+1)]f(z)=(z^2+z+1)/[z^2(z+1)] 在各奇点的留数。

(4) 用复积分求 ∫−∞0dx/(ax2+1)\int_{-\infty}^0dx/(ax^2+1)，其中 a>0a>0。

问题2​

x=Re⁡z,y=Im⁡zx=\operatorname{Re}z,y=\operatorname{Im}z，a,b,c,q,ra,b,c,q,r 为实常数。求下列函数全纯的条件及对应导数：

(1) x(x2−ay2)+iy(bx2−y2)x(x^2-ay^2)+iy(bx^2-y^2)；(2) (x−iy)/(x2+y2)(x-iy)/(x^2+y^2)；(3) z2+czˉ2z^2+c\bar z^2；(4) e−y(cos⁡qx+isin⁡qx)e^{-y}(\cos qx+i\sin qx)；(5) ∑n=1∞rnzn\sum_{n=1}^\infty r^nz^n。

Kai​

問題1​

(1) w=z2+zˉ2\boxed{w=z^2+\bar z^2}。

(2) z=reiθz=re^{i\theta}（0≤θ≤π0\le\theta\le\pi）とおけば ∫Cdz/z=iπ\int_Cdz/z=i\pi。したがって絶対値は π\boxed{\pi}。

(3) f(z)=z−2+(z+1)−1f(z)=z^{-2}+(z+1)^{-1} より、Res⁡0f=0\operatorname{Res}_0f=0、Res⁡−1f=1\operatorname{Res}_{-1}f=1。

(4) 1/(az2+1)1/(az^2+1) を上半円で積分する。上半平面の極 i/ai/\sqrt a の留数は 1/(2ia)1/(2i\sqrt a)。半径 RR の円弧積分の絶対値は πR/(aR2−1)→0\pi R/(aR^2-1)\to0 なので、留数定理より

∫−∞∞dxax2+1=πa.\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{ax^2+1}=\frac\pi{\sqrt a}.

偶関数であることから I=π/(2a)\boxed{I=\pi/(2\sqrt a)}。

問題2​

正則性は開集合上で考える。

(1) コーシー・リーマン方程式は

(3−b)x2+(3−a)y2=0,(b−a)xy=0.(3-b)x^2+(3-a)y^2=0,\qquad (b-a)xy=0.

開集合上で成立する必要十分条件は a=b=3a=b=3。このとき f(z)=z3f(z)=z^3、f′(z)=3z2f'(z)=3z^2。

(2) f(z)=1/zf(z)=1/z より z≠0z\ne0 で正則、f′(z)=−1/z2f'(z)=-1/z^2。

(3) ∂f/∂zˉ=2czˉ\partial f/\partial\bar z=2c\bar z より、正則となる条件は c=0c=0。このとき f′(z)=2zf'(z)=2z。

(4) コーシー・リーマン方程式から (q−1)sin⁡qx=(q−1)cos⁡qx=0(q-1)\sin qx=(q-1)\cos qx=0。したがって q=1q=1 が必要十分。このとき f(z)=eizf(z)=e^{iz}、f′(z)=ieizf'(z)=ie^{iz}。

(5) r≠0r\ne0 ならば ∣rz∣<1|rz|<1 で正則であり、f(z)=rz/(1−rz)f(z)=rz/(1-rz)、f′(z)=r/(1−rz)2f'(z)=r/(1-rz)^2。∣rz∣≥1|rz|\ge1 では一般項が 00 に収束しない。r=0r=0 ならば恒等的に 00 で、全平面で正則、導関数も 00。

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