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京都大学 情報学研究科 システム科学専攻 2007年8月実施 数学【II】

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犬 (finalized by 祭音Myyura with assistance from GPT 6 Astra)

Description​

問1​

(i) 開区間 K⊂RK\subset\mathbb R 上で微分可能な実関数 ff が常に f′(x)>f(x)f'(x)>f(x) を満たすとき、g(x)=e−xf(x)g(x)=e^{-x}f(x) は KK で単調増加することを示せ。

(ii) 同じ条件下で f(x)=0f(x)=0 の解は KK 内に高々一つであることを示せ。

(iii) 0<a<10<a<1、nn を自然数とする。方程式 aex=∑k=0nxk/k!ae^x=\sum_{k=0}^n x^k/k! は (0,∞)(0,\infty) に解をちょうど一つもつことを示せ。

問2​

nn を自然数、ω=e2πi/n\omega=e^{2\pi i/n} とし、A=(ω(j−1)(k−1))j,k=1nA=(\omega^{(j-1)(k-1)})_{j,k=1}^n とする。

(i) 各成分の共役をとった行列を Aˉ\bar A とするとき、AAˉ=nIA\bar A=nI を示せ。

(ii) 次の行列式の表示を使い、nn=∏1≤j<k≤n(2sin⁡((k−j)π/n))2n^n=\prod_{1\le j<k\le n}(2\sin((k-j)\pi/n))^2 を示せ。

det⁡A=∏1≤j<k≤n(2iω(j+k)/2−1sin⁡(k−j)πn).\det A=\prod_{1\le j<k\le n}\left(2i\omega^{(j+k)/2-1}\sin\frac{(k-j)\pi}{n}\right).

(iii) (ii) の結果を使い、∬0≤x≤y≤πlog⁡sin⁡(y−x) dx dy\iint_{0\le x\le y\le\pi}\log\sin(y-x)\,dx\,dy を求めよ。

题目描述​

问1​

(i) 开区间 KK 上的可微实函数 ff 满足 f′>ff'>f，证明 e−xf(x)e^{-x}f(x) 严格递增。

(ii) 证明相同条件下 f(x)=0f(x)=0 在 KK 内至多有一个解。

(iii) 0<a<10<a<1，nn 为正整数。证明 aex=∑k=0nxk/k!ae^x=\sum_{k=0}^n x^k/k! 在 (0,∞)(0,\infty) 恰有一个解。

问2​

令 ω=e2πi/n\omega=e^{2\pi i/n}，Ajk=ω(j−1)(k−1)A_{jk}=\omega^{(j-1)(k-1)}。

(i) Aˉ\bar A 表示逐元素取共轭，证明 AAˉ=nIA\bar A=nI。

(ii) 利用 det⁡A=∏1≤j<k≤n[2iω(j+k)/2−1sin⁡((k−j)π/n)]\det A=\prod_{1\le j<k\le n}[2i\omega^{(j+k)/2-1}\sin((k-j)\pi/n)]，证明 nn=∏1≤j<k≤n[2sin⁡((k−j)π/n)]2n^n=\prod_{1\le j<k\le n}[2\sin((k-j)\pi/n)]^2。

(iii) 利用 (ii) 计算 ∬0≤x≤y≤πlog⁡sin⁡(y−x) dx dy\iint_{0\le x\le y\le\pi}\log\sin(y-x)\,dx\,dy。

Kai​

問1​

(i) g′(x)=e−x(f′(x)−f(x))>0g'(x)=e^{-x}(f'(x)-f(x))>0。

(ii) e−x>0e^{-x}>0 より ff と gg の零点は一致する。厳密単調増加な gg の零点は高々一つ。

(iii) f(x)=aex−∑k=0nxk/k!f(x)=ae^x-\sum_{k=0}^n x^k/k! とおくと f′(x)−f(x)=xn/n!>0f'(x)-f(x)=x^n/n!>0。よって正の零点は高々一つ。一方、f(0)=a−1<0f(0)=a-1<0、lim⁡x→∞f(x)=∞\lim_{x\to\infty}f(x)=\infty なので、中間値の定理より正の零点が存在する。

問2​

(i) 等比数列の和より

(AAˉ)jk=∑ℓ=0n−1ω(j−k)ℓ={nj=k,0j≠k.(A\bar A)_{jk}=\sum_{\ell=0}^{n-1}\omega^{(j-k)\ell} =\begin{cases}n&j=k,\\0&j\ne k.\end{cases}

(ii) (i) の行列式をとれば ∣det⁡A∣2=nn|\det A|^2=n^n。与えられた積表示の各因子の絶対値が 2sin⁡((k−j)π/n)2\sin((k-j)\pi/n) であることから従う。

(iii) (ii) の両辺の対数をとり、d=k−jd=k-j ごとにまとめると

log⁡n2n=1n∑d=1n−1(1−dn)log⁡(2sin⁡πdn).\frac{\log n}{2n} =\frac1n\sum_{d=1}^{n-1}\left(1-\frac dn\right) \log\left(2\sin\frac{\pi d}{n}\right).

n→∞n\to\infty とすれば右辺は ∫01(1−u)log⁡(2sin⁡πu) du\int_0^1(1-u)\log(2\sin\pi u)\,du に収束し、その値は 00。端点付近では sin⁡πu≍u\sin\pi u\asymp u、sin⁡πu≍1−u\sin\pi u\asymp1-u であり、幅 δ\delta の区間の積分と和は O(δ∣log⁡δ∣)+O((log⁡n)/n)O(\delta|\log\delta|)+O((\log n)/n) で抑えられるため、この極限は正当化される。

u=(y−x)/πu=(y-x)/\pi と変数変換して

∬0≤x≤y≤πlog⁡sin⁡(y−x) dx dy=π2∫01(1−u)log⁡sin⁡(πu) du=−π22log⁡2.\begin{aligned} \iint_{0\le x\le y\le\pi}\log\sin(y-x)\,dx\,dy &=\pi^2\int_0^1(1-u)\log\sin(\pi u)\,du\\ &=\boxed{-\frac{\pi^2}{2}\log2}. \end{aligned}
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