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京都大学 情報学研究科 システム科学専攻 2007年8月実施 工業数学

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Author​

犬 (finalized by 祭音Myyura with assistance from GPT 6 Astra)

Description​

問題1​

(1) 2cos⁡(π+i)2\cos(\pi+i) を求めよ。(2) 1/(z6+1)1/(z^6+1) の極を求めよ。

問題2​

∫−∞∞x2/(x2+1)2 dx\int_{-\infty}^\infty x^2/(x^2+1)^2\,dx を求めよ。

問題3​

互いに異なる複素数 z1,z2,z3z_1,z_2,z_3 を頂点とする三角形が正三角形となる必要十分条件を、τ=(z2−z1)/(z3−z1)\tau=(z_2-z_1)/(z_3-z_1) の値として与え、理由を述べよ。

問題4​

(1) 1/{z(1−z)}1/\{z(1-z)\} を原点中心、原点近傍（原点を除く）でローラン展開し、収束領域を求めよ。

(2) z−2e1/zz^{-2}e^{1/z} を原点中心、無限遠点を含む領域でローラン展開し、収束領域を求めよ。

题目描述​

问题1​

(1) 求 2cos⁡(π+i)2\cos(\pi+i)。(2) 求 1/(z6+1)1/(z^6+1) 的极点。

问题2​

求 ∫−∞∞x2/(x2+1)2 dx\int_{-\infty}^{\infty}x^2/(x^2+1)^2\,dx。

问题3​

z1,z2,z3z_1,z_2,z_3 为不同复数。给出以它们为顶点的三角形为正三角形的充要条件，以 τ=(z2−z1)/(z3−z1)\tau=(z_2-z_1)/(z_3-z_1) 的值表示，并说明理由。

问题4​

(1) 将 1/[z(1−z)]1/[z(1-z)] 在以原点为中心的去心邻域作洛朗展开并求收敛域。

(2) 将 z−2e1/zz^{-2}e^{1/z} 在以原点为中心、包含无穷远点的区域作洛朗展开并求收敛域。

Kai​

問題1​

(1) 2cos⁡(π+i)=−(e+e−1)2\cos(\pi+i)=-(e+e^{-1})。

(2) z6=−1z^6=-1 より、zk=e(2k+1)πi/6 (k=0,…,5)\boxed{z_k=e^{(2k+1)\pi i/6}\ (k=0,\ldots,5)}。いずれも一位の極である。

問題2​

f(z)=z2/{(z−i)2(z+i)2}f(z)=z^2/\{(z-i)^2(z+i)^2\} を上半円で積分する。二位の極 ii の留数は

Res⁡z=if=ddzz2(z+i)2∣z=i=−i4.\operatorname{Res}_{z=i}f=\left.\frac{d}{dz}\frac{z^2}{(z+i)^2}\right|_{z=i}=-\frac i4.

円弧積分の絶対値は πR3/(R2−1)2→0\pi R^3/(R^2-1)^2\to0 なので、留数定理より I=2πi(−i/4)=π/2\boxed{I=2\pi i(-i/4)=\pi/2}。

問題3​

平行移動と非零複素数による除算で、頂点は 0,τ,10,\tau,1 に移る。正三角形であることは ∣τ∣=∣τ−1∣=1|\tau|=|\tau-1|=1 と同値。したがって

τ=12±32i=e±iπ/3.\boxed{\tau=\frac12\pm\frac{\sqrt3}{2}i=e^{\pm i\pi/3}}.

問題4​

(1) 等比級数より

1z(1−z)=∑n=0∞zn−1=1z+1+z+z2+⋯ ,0<∣z∣<1.\frac1{z(1-z)}=\sum_{n=0}^\infty z^{n-1} =\frac1z+1+z+z^2+\cdots,\qquad0<|z|<1.

(2) 指数関数の展開より

z−2e1/z=∑n=0∞z−n−2n!,0<∣z∣<∞.z^{-2}e^{1/z}=\sum_{n=0}^\infty\frac{z^{-n-2}}{n!},\qquad0<|z|<\infty.

w=1/zw=1/z とすると w2eww^2e^w は w=0w=0 でも正則であり、無限遠点も含まれる。

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