京都大学 情報学研究科 システム科学専攻 2007年8月実施 工業数学

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犬 (finalized by 祭音Myyura with assistance from GPT 6 Astra)

Description

問題1

(1) $2\cos(\pi+i)$ を求めよ。(2) $1/(z^6+1)$ の極を求めよ。

問題2

$\int_{-\infty}^\infty x^2/(x^2+1)^2\,dx$ を求めよ。

問題3

互いに異なる複素数 $z_1,z_2,z_3$ を頂点とする三角形が正三角形となる必要十分条件を、$\tau=(z_2-z_1)/(z_3-z_1)$ の値として与え、理由を述べよ。

問題4

(1) $1/\{z(1-z)\}$ を原点中心、原点近傍（原点を除く）でローラン展開し、収束領域を求めよ。

(2) $z^{-2}e^{1/z}$ を原点中心、無限遠点を含む領域でローラン展開し、収束領域を求めよ。

题目描述

问题1

(1) 求 $2\cos(\pi+i)$。(2) 求 $1/(z^6+1)$ 的极点。

问题2

求 $\int_{-\infty}^{\infty}x^2/(x^2+1)^2\,dx$。

问题3

$z_1,z_2,z_3$ 为不同复数。给出以它们为顶点的三角形为正三角形的充要条件，以 $\tau=(z_2-z_1)/(z_3-z_1)$ 的值表示，并说明理由。

问题4

(1) 将 $1/[z(1-z)]$ 在以原点为中心的去心邻域作洛朗展开并求收敛域。

(2) 将 $z^{-2}e^{1/z}$ 在以原点为中心、包含无穷远点的区域作洛朗展开并求收敛域。

Kai

問題1

(1) $2\cos(\pi+i)=-(e+e^{-1})$。

(2) $z^6=-1$ より、$\boxed{z_k=e^{(2k+1)\pi i/6}\ (k=0,\ldots,5)}$。いずれも一位の極である。

問題2

$f(z)=z^2/\{(z-i)^2(z+i)^2\}$ を上半円で積分する。二位の極 $i$ の留数は

$$\operatorname{Res}_{z=i}f=\left.\frac{d}{dz}\frac{z^2}{(z+i)^2}\right|_{z=i}=-\frac i4.$$

円弧積分の絶対値は $\pi R^3/(R^2-1)^2\to0$ なので、留数定理より $\boxed{I=2\pi i(-i/4)=\pi/2}$。

問題3

平行移動と非零複素数による除算で、頂点は $0,\tau,1$ に移る。正三角形であることは $|\tau|=|\tau-1|=1$ と同値。したがって

$$\boxed{\tau=\frac12\pm\frac{\sqrt3}{2}i=e^{\pm i\pi/3}}.$$

問題4

(1) 等比級数より

$$\frac1{z(1-z)}=\sum_{n=0}^\infty z^{n-1} =\frac1z+1+z+z^2+\cdots,\qquad0<|z|<1.$$

(2) 指数関数の展開より

$$z^{-2}e^{1/z}=\sum_{n=0}^\infty\frac{z^{-n-2}}{n!},\qquad0<|z|<\infty.$$

$w=1/z$ とすると $w^2e^w$ は $w=0$ でも正則であり、無限遠点も含まれる。