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京都大学 情報学研究科 システム科学専攻 2006年8月実施 確率統計

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Author​

犬 (finalized by 祭音Myyura with assistance from GPT 6 Astra)

Description​

問1​

(X1,X2)(X_1,X_2) の結合密度を f(x1,x2)=8x1x2f(x_1,x_2)=8x_1x_2（0<x1<x2<10<x_1<x_2<1）、その他では 00 とする。

(i) 各周辺密度を求め、独立かどうか述べよ。

(ii) Y1=X1/X2,Y2=X2Y_1=X_1/X_2,Y_2=X_2 とするとき、結合密度と各周辺密度を求め、独立かどうか述べよ。

問2​

自由度 kk の χ2\chi^2 変数 XX の密度は

f(x)=xk/2−1e−x/22k/2Γ(k/2)(x>0),Γ(α)=∫0∞e−ttα−1 dt,Γ(α+1)=αΓ(α).f(x)=\frac{x^{k/2-1}e^{-x/2}}{2^{k/2}\Gamma(k/2)}\quad(x>0),\qquad \Gamma(\alpha)=\int_0^\infty e^{-t}t^{\alpha-1}\,dt, \quad\Gamma(\alpha+1)=\alpha\Gamma(\alpha).

(i) E[X]=k,Var⁡(X)=2kE[X]=k,\operatorname{Var}(X)=2k を示せ。

(ii) 正規母集団 N(μx,σ2)N(\mu_x,\sigma^2) からの独立標本 x1,…,xnx_1,\ldots,x_n に対し、xˉ=n−1∑ixi,sx2=(n−1)−1∑i(xi−xˉ)2\bar x=n^{-1}\sum_ix_i,s_x^2=(n-1)^{-1}\sum_i(x_i-\bar x)^2 と定義する。この定義から E[sx2]=σ2E[s_x^2]=\sigma^2 を示せ。

(iii) sx2=σ2Z/(n−1)s_x^2=\sigma^2Z/(n-1) とすると Z∼χn−12Z\sim\chi^2_{n-1}。別の独立な正規母集団 N(μy,σ2)N(\mu_y,\sigma^2) から独立標本 y1,…,ymy_1,\ldots,y_m をとり、同様に sy2s_y^2 を定める。sy2=σ2W/(m−1)s_y^2=\sigma^2W/(m-1)、W∼χm−12W\sim\chi^2_{m-1} である。共通の分散の不偏推定量 sp2=λsx2+(1−λ)sy2s_p^2=\lambda s_x^2+(1-\lambda)s_y^2 の分散を最小にする λ\lambda を求めよ。

题目描述​

问1​

(X1,X2)(X_1,X_2) 在 0<x1<x2<10<x_1<x_2<1 上的密度为 8x1x28x_1x_2，其余为 00。

(i) 求边缘密度并判断是否独立。

(ii) 令 Y1=X1/X2,Y2=X2Y_1=X_1/X_2,Y_2=X_2，求联合密度、各边缘密度并判断是否独立。

问2​

自由度 kk 的卡方变量密度为 xk/2−1e−x/2/[2k/2Γ(k/2)]x^{k/2-1}e^{-x/2}/[2^{k/2}\Gamma(k/2)]（x>0x>0），可用 Γ(α)=∫0∞e−ttα−1 dt\Gamma(\alpha)=\int_0^\infty e^{-t}t^{\alpha-1}\,dt 及 Γ(α+1)=αΓ(α)\Gamma(\alpha+1)=\alpha\Gamma(\alpha)。

(i) 证明 E[X]=kE[X]=k、Var⁡(X)=2k\operatorname{Var}(X)=2k。

(ii) 从 N(μx,σ2)N(\mu_x,\sigma^2) 取 nn 个独立样本，定义 xˉ=n−1∑ixi\bar x=n^{-1}\sum_ix_i、sx2=(n−1)−1∑i(xi−xˉ)2s_x^2=(n-1)^{-1}\sum_i(x_i-\bar x)^2。从定义证明 E[sx2]=σ2E[s_x^2]=\sigma^2。

(iii) 已知 (n−1)sx2/σ2∼χn−12(n-1)s_x^2/\sigma^2\sim\chi^2_{n-1}。从另一个独立总体 N(μy,σ2)N(\mu_y,\sigma^2) 取 mm 个独立样本，同样定义 sy2s_y^2，且 (m−1)sy2/σ2∼χm−12(m-1)s_y^2/\sigma^2\sim\chi^2_{m-1}。求使无偏估计 sp2=λsx2+(1−λ)sy2s_p^2=\lambda s_x^2+(1-\lambda)s_y^2 方差最小的 λ\lambda。

Kai​

問1​

(i) 0<x<10<x<1 において

fX1(x)=∫x18xx2 dx2=4x(1−x2),fX2(x)=∫0x8x1x dx1=4x3.f_{X_1}(x)=\int_x^18xx_2\,dx_2=4x(1-x^2),\qquad f_{X_2}(x)=\int_0^x8x_1x\,dx_1=4x^3.

その他では両者とも 00。周辺密度の積は三角形の外でも正になり、結合密度と一致しないので独立ではない。

(ii) 逆変換は x1=y1y2,x2=y2x_1=y_1y_2,x_2=y_2、ヤコビアンの絶対値は y2y_2。よって

fY1,Y2(y1,y2)=8y1y23(0<y1,y2<1).f_{Y_1,Y_2}(y_1,y_2)=8y_1y_2^3\quad(0<y_1,y_2<1).

周辺密度は fY1(y)=2yf_{Y_1}(y)=2y、fY2(y)=4y3f_{Y_2}(y)=4y^3（0<y<10<y<1、その他は 00）。結合密度はその積に等しく、独立である。

問2​

(i) ガンマ積分から E[Xr]=2rΓ(k/2+r)/Γ(k/2)E[X^r]=2^r\Gamma(k/2+r)/\Gamma(k/2)。r=1,2r=1,2 を代入すると E[X]=kE[X]=k、E[X2]=k(k+2)E[X^2]=k(k+2)、したがって Var⁡(X)=2k\operatorname{Var}(X)=2k。

(ii) 恒等式

∑i(xi−xˉ)2=∑i(xi−μx)2−n(xˉ−μx)2\sum_i(x_i-\bar x)^2=\sum_i(x_i-\mu_x)^2-n(\bar x-\mu_x)^2

の期待値をとると、右辺は nσ2−n(σ2/n)=(n−1)σ2n\sigma^2-n(\sigma^2/n)=(n-1)\sigma^2。よって E[sx2]=σ2E[s_x^2]=\sigma^2。

(iii) (i) から Var⁡(sx2)=2σ4/(n−1)\operatorname{Var}(s_x^2)=2\sigma^4/(n-1)、Var⁡(sy2)=2σ4/(m−1)\operatorname{Var}(s_y^2)=2\sigma^4/(m-1)。標本間の独立性より

Var⁡(sp2)=2σ4(λ2n−1+(1−λ)2m−1).\operatorname{Var}(s_p^2)=2\sigma^4\left(\frac{\lambda^2}{n-1}+\frac{(1-\lambda)^2}{m-1}\right).

これは下に凸の二次式であり、微分して λ/(n−1)=(1−λ)/(m−1)\lambda/(n-1)=(1-\lambda)/(m-1)。したがって

λ=n−1n+m−2.\boxed{\lambda=\frac{n-1}{n+m-2}}.
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