京都大学 情報学研究科 システム科学専攻 2006年8月実施 工業数学

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犬 (finalized by 祭音Myyura with assistance from GPT 6 Astra)

Description

問題1

(1) $1$ の16乗根のうち偏角が正で最小のものを $z\ne1$ とする。$S=\sum_{k=0}^7z^{2k}$ を求めよ。

(2) $0<a<b$ とするとき $I=\int_{-\infty}^\infty dx/\{(x^2+a^2)(x^2+b^2)\}$ を求めよ。

(3) $z=x+iy$ とするとき、$f(z)=\sin(z^2)$ の実部を $x,y$ で表せ。

問題2

正則関数を $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$、$z=x+iy$ と書く。導出過程を示して答えよ。

(1) $z_1=x+\Delta x+iy,z_2=x+i(y+\Delta y)$ とする。差商 $(f(z_1)-f(z))/(z_1-z)$、$(f(z_2)-f(z))/(z_2-z)$ の $\Delta x\to0,\Delta y\to0$ における極限を $u,v$ で表せ。

(2) 上の結果からコーシー・リーマンの関係式を導け。

(3) $u(x,y)=x^3-3xy^2$ のとき $f(z)$ を求めよ。

题目描述

问题1

(1) $z\ne1$ 是 $1$ 的16次方根中正辐角最小者，求 $\sum_{k=0}^7z^{2k}$。

(2) $0<a<b$，求 $\int_{-\infty}^\infty dx/[(x^2+a^2)(x^2+b^2)]$。

(3) $z=x+iy$，用 $x,y$ 表示 $\sin(z^2)$ 的实部。

问题2

全纯函数 $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$，$z=x+iy$。给出推导：

(1) 设 $z_1=x+\Delta x+iy$，$z_2=x+i(y+\Delta y)$，分别求沿实轴、虚轴差商 $(f(z_j)-f(z))/(z_j-z)$ 的极限。

(2) 据此推导柯西–黎曼方程。

(3) 若 $u=x^3-3xy^2$，求 $f$。

Kai

問題1

(1) $z=e^{i\pi/8}$、$z^2\ne1$、$z^{16}=1$ より $\boxed{S=(1-z^{16})/(1-z^2)=0}$。

(2) 部分分数分解より

$$I=\frac1{b^2-a^2}\left(\int_{-\infty}^\infty\frac{dx}{x^2+a^2}-\int_{-\infty}^\infty\frac{dx}{x^2+b^2}\right) =\boxed{\frac\pi{ab(a+b)}}.$$

(3) $z^2=x^2-y^2+2ixy$ と $\sin(\alpha+i\beta)=\sin\alpha\cosh\beta+i\cos\alpha\sinh\beta$ より

$$\boxed{\operatorname{Re}\sin(z^2)=\sin(x^2-y^2)\cosh(2xy)}.$$

問題2

(1) 実方向の極限は $u_x+iv_x$、虚方向の極限は $(u_y+iv_y)/i=v_y-iu_y$。

(2) 正則性により両極限は一致するので、実部と虚部を比較して

$$\boxed{u_x=v_y,\qquad u_y=-v_x}.$$

(3) $v_y=3x^2-3y^2$ より $v=3x^2y-y^3+C(x)$。さらに $v_x=6xy=-u_y$ より $C'(x)=0$。したがって

$$\boxed{f(z)=z^3+iC,\qquad C\in\mathbb R}.$$