京都大学 情報学研究科 知能情報学専攻 2023年8月実施 情報学基礎 F1-1

标签：

• Kyoto-University
• Unitary-Matrix
• Matrix-Inverse
• Vector-Space-and-Subspace
• Projection-Operator
• Matrix-Diagonalization

Author

Isidore, 祭音Myyura

Description

以下の設問において $i$ は虚数単位を, $\mathbb{C}$ は複素数全体の集合を表す。 また、行列 $\boldsymbol{A}$ に対して、$\boldsymbol{A}^H$ は $\boldsymbol{A}$ の共役転置（エルミート転置）を、$\boldsymbol{A}^{-1}$ は $\boldsymbol{A}$ の逆行列をそれぞれ表す。

設問1

行列 $\boldsymbol{D} \in \mathbb{C}^{4 \times 4}$ を次で定義する。

$$\boldsymbol{D} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -i & -1 & i \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & i & -1 & -i \end{pmatrix}$$

このとき、以下の問いに答えよ。

(1) $\boldsymbol{D}$ がユニタリ行列であることを示せ。

(2) 行列 $\boldsymbol{G} \in \mathbb{C}^{4 \times 4}$ を

$$G = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & i \end{pmatrix}$$

で定義するとき、$\boldsymbol{D}^H \boldsymbol{G} \boldsymbol{D}$ の逆行列を導出せよ。

設問2

$n$ 次元ベクトル空間 $V$ が2つの部分空間 $W_1, W_2$ の直和であるとする。ベクトル $x \in V$ が

$$x = x_1 + x_2, \quad x_1 \in W_1, x_2 \in W_2$$

と分解されるとき、$x$ を $x_1$ に写す一次変換を考える。 この一次変換を表す $V$ のある基底に関する行列を $\boldsymbol{B}$ とする。このとき、以下の問いに答えよ。

(1) $x$ を $x_2$ に写す一次変換を表す上述の基底に関する行列を導出せよ。

(2) $\boldsymbol{B}^2 = \boldsymbol{B}$ が成り立つことを示せ。

(3) 適当な $n$ 次正則行列 $\boldsymbol{P}$ をとれば

$$\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{B} \boldsymbol{P} = \begin{pmatrix} 1 & & & & & \\ & \ddots & & & & \\ & & 1 & & & \\ & & & 0 & & \\ & & & & \ddots & \\ & & & & & 0 \end{pmatrix}$$

となることを示せ。

Kai

設問1

(1)

Definition of Unitary Matrix: $D^{H}D=E$, in which $E$ is identity matrix and $D^H$ stands for Hermitian Matrix.

$$\begin{aligned} D^{H} &= \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1&1&1&1\\ 1&i&-1&-i\\ 1&-1&1&-1\\ 1&-i&-1&i \end{pmatrix} \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} DD^{H} &= \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1&1&1&1\\ 1&-i&-1&i\\ 1&-1&1&-1\\ 1&i&-1&-i \end{pmatrix} \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1&1&1&1\\ 1&i&-1&-i\\ 1&-1&1&-1\\ 1&-i&-1&i \end{pmatrix} = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} 4&0&0&0\\ 0&4&0&0\\ 0&0&4&0\\ 0&0&0&4 \end{pmatrix} = E \end{aligned}$$

$$\begin{align} D^{H}D &= \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1&1&1&1\\ 1&i&-1&-i\\ 1&-1&1&-1\\ 1&-i&-1&i \end{pmatrix} \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1&1&1&1\\ 1&-i&-1&i\\ 1&-1&1&-1\\ 1&i&-1&-i \end{pmatrix} = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} 4&0&0&0\\ 0&4&0&0\\ 0&0&4&0\\ 0&0&0&4 \end{pmatrix} = E \end{align}$$

Therefore, $D$ is a unitary matrix.

(2)

With a process similar to question (1), we know that $G$ is a unitary matrix.

Hence,

$$\begin{aligned} (D^{H}GD)^{-1} &= (D^{H}GD)^{H} = D^{H}G^{H}D \\ &= \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1&1&1&1\\ 1&i&-1&-i\\ 1&-1&1&-1\\ 1&-i&-1&i \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&0&0&0\\ 0&-i&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&-i \end{pmatrix} \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1&1&1&1\\ 1&-i&-1&i\\ 1&-1&1&-1\\ 1&i&-1&-i \end{pmatrix}\\ &=\frac{1}{4}\begin{pmatrix} 2-2i & 0 & 2+2i & 0 \\ 0 & 2-2i & 0 & 2+2i \\ 2+2i & 0 & 2-2i & 0 \\ 0 & 2+2i & 0 & 2-2i \end{pmatrix} \end{aligned}$$

設問2

(1)

According to the question, the linear transformation $B$ maps $x$ to $x_1$, so

$$\begin{align} Bx=x_1 \tag{*} \end{align}$$

Insert $x_1 = x-x_2$, we get

$$Bx=x - x_2 \Rightarrow (E - B)x = x_2$$

So $E-B$ is the answer.

(2)

Insert $x=x_1 + x_2$ into equation (*),

$$Bx_1 + Bx_2 = x_1$$

Given $V = W_1 \oplus W_2$, by the properties of Projection Matrix we have

$$Bx_1 = x_1, Bx_2 = 0$$

Then we have

$$B^2x_1 = Bx_1 = x_1, B^2x_2 = Bx_2 = 0$$

Therefore, $\forall x \in V, \; B^2x= x_1 = Bx$, which implies that $B^2 = B$.

(3)

Consider the eigenvalues $\lambda$ of $B$, which satisfies

$$Bx = \lambda x$$

By (2) we have $B^2 = B$, hence every $\lambda$ satisfies

$$\lambda^2 = \lambda$$

Hence $\lambda = 1,0$.

Assume that the algebraic multiplicity of $\lambda = 1$ is $k$, then the algebraic multiplicity of $\lambda = 0$ is $(n-k)$.

Therefore, we can derive

$$P=\begin{bmatrix}x_1 & x_2 & ...... & x_n \end{bmatrix}$$

in which $x_1...x_k$ is the eigenvectors corresponding to $\lambda = 1$ and the others is the eigenvectors corresponding to $\lambda = 0$.

Consider all the $Bx_i=\lambda x_i$, we can get

$$BP = P\begin{bmatrix} E & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$$

We give a brief check of whether $P$ is non-singular or not.

When $\lambda = 1$,

$$Bx_i=x_i \Rightarrow (E-B)x_i = 0$$

So its eigenspace is $N(E-B)$. Similarly, $\lambda = 0$'s eigenspace is $N(B)$.

Obviously, $N(B) = W_2$ and then $N(E-B) = W_1$. Given $V = W_1 \oplus W_2$, the space spanned by column vectors of $P$ (which are eigenvectors of $B$) is exact $V$. Therefore, $P$ is non-singular. Q.E.D.