京都大学 情報学研究科 知能情報学専攻 2023年8月実施 情報学基礎 F1-1

Author

Isidore, 祭音Myyura

Description

以下の設問において は虚数単位を, は複素数全体の集合を表す。 また、行列 に対して、 は の共役転置（エルミート転置）を、 は の逆行列をそれぞれ表す。

設問1

行列 を次で定義する。

このとき、以下の問いに答えよ。

(1) がユニタリ行列であることを示せ。

(2) 行列 を

で定義するとき、 の逆行列を導出せよ。

設問2

次元ベクトル空間 が2つの部分空間 の直和であるとする。ベクトル が

と分解されるとき、 を に写す一次変換を考える。 この一次変換を表す のある基底に関する行列を とする。このとき、以下の問いに答えよ。

(1) を に写す一次変換を表す上述の基底に関する行列を導出せよ。

(2) が成り立つことを示せ。

(3) 適当な 次正則行列 をとれば

となることを示せ。

Kai

設問1

(1)

Definition of Unitary Matrix: , in which is identity matrix and stands for Hermitian Matrix.

Therefore, is a unitary matrix.

(2)

With a process similar to question (1), we know that is a unitary matrix.

Hence,

設問2

(1)

According to the question, the linear transformation maps to , so

Insert , we get

So is the answer.

(2)

Insert into equation (*),

Given , by the properties of Projection Matrix we have

Then we have

Therefore, , which implies that .

(3)

Consider the eigenvalues of , which satisfies

By (2) we have , hence every satisfies

Hence .

Assume that the algebraic multiplicity of is , then the algebraic multiplicity of is .

Therefore, we can derive

in which is the eigenvectors corresponding to and the others is the eigenvectors corresponding to .

Consider all the , we can get

We give a brief check of whether is non-singular or not.

When ,

So its eigenspace is . Similarly, 's eigenspace is .

Obviously, and then . Given , the space spanned by column vectors of (which are eigenvectors of ) is exact . Therefore, is non-singular. Q.E.D.