京都大学 情報学研究科 知能情報学専攻 2022年8月実施 情報学基礎 F1-1

Author

Isidore, 祭音Myyura

Description

設問1

以下の行列 に対して、 を満たす下三角行列 と上三角行列 を求めよ。ただし の対角成分はすべて 1 とする。

設問2

四元数の実 4 次正方行列表現における基底元は以下のように定義される。

以下の問いに答えよ。次の等式を用いてもよい：

(1) とし、, として を求めよ。

(2) と を求めよ。ただし とする。

(3) 実 4 次正方行列の集合 は非可換環である。この部分集合 も非可換環であるための以下の必要条件を証明せよ：

• (a) は加法に対して閉じている。
• (b) 加法交換則が成り立つ。
• () 加法結合則が成り立つ。
• (d) 加法に対する零元が存在する。
• (e) 加法に対する逆元が存在する。
• (f) は乗法に対して閉じている。
• (g) 乗法結合則が成り立つ。
• (h) 乗法分配則が成り立つ。
• (i) 乗法は非可換である。

Kai

設問1

設問2

(1)

(2)

(3)

The complete proving is to use to represent all the s below with their calculations, which is easy but tedious, hence some proof is omitted.

For , let .

(a):

(b):

():

(d): .

Let denote the zero-martix. When we have , hence . And we have

proof finishes.

(e): .

Let . Then,

since , the proof finishes.

(f):

(g):

Omitted

(h):

Omitted

(i):

let

proof finishes.