京都大学 情報学研究科 知能情報学専攻 2021年8月実施 専門科目 S-2

Author

Isidore

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設問1

が互いに独立に正規分布 に従う時、帰無仮説
、対立仮説 。 有意水準 の片側検定を考える。 確率変数 が標準正規分布に従う時、確率 であることを用いてよい。

(1) のときの検出力を考える。検出力は、確率変数 が標準正規分布に従う時、確率 として表すことができる。そのときの の値を求めよ。

(2) のとき検出力を 以上にする の最小値を求めよ。

設問2

製造法 と があり、製造法 では製品の不良率は である。

(1) のとき製造法 で 個製造した。不良品が 個以下になる確率を求めよ。

(2) のとき製造法 で 個製造した。不良品が発生しない確率を求めよ。また、ポアソン分布 を用いた近似により得られる確率を求めよ。

(3) 製造法 で 個製造したところ不良品が 個であった。製造法 の不良率が のとき、製造法 の不良率が製造法 と異なるかを有意水準 で両側検定せよ。確率変数 が標準正規分布に従う時、確率 であることを用いてよい。

設問3

2つの確率変数 と に関して、期待値と分散が次のようになっている。

(1) と のそれぞれの二乗の期待値 と と の共分散 を答えよ。

(3) と にそれぞれ次の一次変換を施して新しい確率変数 と を作った。

と の共分散 と相関係数 を答えよ。

Kai

設問1

(1)

According to the rule of Power analysis, we have the Statistical Power:

and . Hence we have

(2)

By (1), we have

To make sure the power larger than , we have

Hence the minimum value of is .

設問2

(1)

(2)

The approximation PMF is . So the answer is

(3)

Let denote the defective rate of . We design a test where the null hypothesis is and the alternative hypothesis is .

The statistic follow the standard normal distribution. By using the significance level , the rejection region is

which is

So we reject and accept , i.e., the defect rate of is not the same as .

設問3

(1)

(2)