京都大学 情報学研究科 知能情報学専攻 2021年8月実施 情報学基礎 F1-2

标签：

• Kyoto-University
• Sigmoid-and-Hyperbolic-Tangent-Derivatives
• Constrained-Optimization
• Involute-of-a-Circle
• Arc-Length

Author

Miyake, 祭音Myyura

Description

日本語版

設問1

以下の問いに答えよ。

(1) 以下の関数について、 導関数を $y$ のみを用いて表せ。 また、その導関数の値域を示せ。

• A) $y = f(x) = \frac{1}{1 + \exp(-x)}$
• B) $y = f(x) = \frac{\exp(x) - \exp(-x)}{\exp(x) + \exp(-x)}$

(2) $x^2 + y^2 - 1 = 0$ 及び $0 \le x,y \le 1$ の条件の下、 $f(x, y) = x^3 + 2y^3$ の極値を求めよ。

設問2

地面に直立した半径 $1[m]$ の円筒がある。 ヤギの首に長さ $\pi[m]$ の伸び縮みしないヒモが結び付けられている。 このヒモのもう一端は円筒表面の一点（首と同じ高さ）に結び付けられている。

(1) 円筒の中心軸を原点とし、ヒモの結び付けられている円筒上の点を $(-1,0)$ とする $2$ 次元座標系を地面上で考えたとき、 $x \ge -1, y \ge 0$ において、ヤギがヒモをたるませずに立っているときの2次元座標を $x$ 軸からの角度 $\theta$ を用いて表せ。

(2) このヤギがヒモをたるませずに円筒周りを一周したとき、その総移動距離を求めよ。

(3) このヤギが歩き回れる地面の面積を求めよ。

English Version

Q.1

Answer the following questions.

(1) Express the derivative function for each of the following functions using only $y$ and show the range of the derivative function.

• A) $y = f(x) = \frac{1}{1 + \exp(-x)}$
• B) $y = f(x) = \frac{\exp(x) - \exp(-x)}{\exp(x) + \exp(-x)}$

(2) Compute the extrema of $f(x, y) = x^3 + 2y^3$ when $x^2 + y^2 - 1 = 0$ and $0 \le x,y \le 1$ .

Q.2

A cylinder of $1[m]$ radius is erected perpendicularly on the ground. A goat is on a leash of $\pi[m]$ that neither stretches nor compresses. The other end of the leash is tied to a surface point of the cylinder at the same height.

(1) Consider a two-dimensional coordinate frame with its origin at the center axis of the cylinder and where the point of attachment of the leash on the cylinder is $(-1, 0)$ . Using angle $\theta$ from the $x$ axis, express the 2D coordinates of the goat when she is standing without any slack to the leash for $x \ge 1,y \ge 0$ .

(2) Derive the total distance the goat would travel when going around the cylinder once without any slack to the leash.

(3) Derive the total area of the ground the goat can cover.

题目描述

回答以下两题。

1. 完成下列微积分问题：

   1. 对每个函数，将导数仅用 $y$ 表示，并给出该导数的值域：

      • 函数

$$y=f(x)=\frac{1}{1+\exp(-x)};$$

  - 函数

$$y=f(x)=\frac{\exp(x)-\exp(-x)} {\exp(x)+\exp(-x)}.$$

2. 在

$$x^2+y^2-1=0,\qquad 0\leq x,y\leq1$$

的条件下，求 $f(x,y)=x^3+2y^3$ 的极值。

2. 地面上竖直立有一个半径为 $1\,\mathrm{m}$ 的圆柱。山羊颈部系着一根长度为 $\pi\,\mathrm{m}$、不可伸长或缩短的绳，绳的另一端系在圆柱表面上与山羊颈部等高的一点。以圆柱中心轴为原点，并令圆柱上的系绳点为 $(-1,0)$，在地面建立二维坐标系。

   1. 用从 $x$ 轴量起的角度 $\theta$ 表示绳保持绷紧时山羊的二维坐标。日文版把所考察区域写为 $x\geq-1,\ y\geq0$；英文版相应位置写为 $x\geq1,\ y\geq0$，两版在这一不等式上不一致。
   2. 若山羊始终保持绳绷紧并绕圆柱一周，求它移动的总距离。
   3. 求山羊能够走到的地面总面积。

Kai

設問1

(1)

A)

まず、 $y=1/(1+\exp(-x))$ より、 $\exp(-x) = (1-y)/y$ である。 よって、

$$\begin{aligned} \frac{dy}{dx} &= \frac{d}{dx} \frac{1}{1 + \exp(-x)} \\ &= \frac{\exp(-x)}{\left( 1 + \exp(-x) \right)^2} \\ &= y(1-y) \\ &= -y^2 + y \end{aligned}$$

である。

$dy/dx$ を $x$ で表した式からわかるように、 任意の実数 $x$ について、 $dy/dx \gt 0$ である。 また、

$$\begin{aligned} \lim_{x \to -\infty} y = 0 , \ \ \lim_{x \to \infty} y = 1 \end{aligned}$$

なので、 $y$ の値域は $(0,1)$ である。 さらに、

$$\begin{aligned} \frac{dy}{dx} &= - \left( y - \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{1}{4} \end{aligned}$$

と書き換えられるので、 $dy/dx$ の値域は $(0,1/4]$ である。

B)

まず、

$$\begin{aligned} \frac{dy}{dx} &= \frac{d}{dx} \frac{\exp(x) - \exp(-x)}{\exp(x) + \exp(-x)} \\ &= \frac{4}{\left( \exp(x) + \exp(-x) \right)^2} \\ &= -y^2 + 1 \end{aligned}$$

である。

$dy/dx$ を $x$ で表した式からわかるように、 任意の実数 $x$ について、 $dy/dx \gt 0$ である。 また、

$$\begin{aligned} \lim_{x \to -\infty} y = -1 , \ \ \lim_{x \to \infty} y = 1 \end{aligned}$$

なので、 $y$ の値域は $(-1,1)$ である。 そこで、 $dy/dx$ を $y$ で表した式からわかるように、 $dy/dx$ の値域は $(0,1]$ である。

(2)

まず、条件 $x^2+y^2-1=0$ より、 $x = \cos \theta, y = \sin \theta$ と表せる。

また、条件 $0 \leq x, y \leq 1$ は $0 \leq \theta \leq \pi/2$ に相当する。

$f(x,y)$ を $\theta$ で表した関数を $g(\theta)$ と書く：

$$\begin{aligned} g(\theta) = \cos^3 \theta + 2 \sin^3 \theta \end{aligned}$$

このとき、

$$\begin{aligned} \frac{dg(\theta)}{d \theta} = 3 \sin \theta \cos \theta (- \cos \theta + 2 \sin \theta) \end{aligned}$$

なので、増減表は次のようになる （ $\alpha$ は $\tan \alpha = 1/2$ を満たす）：

$$\begin{array} {c|ccccccc} \theta & \cdots & 0 & \cdots & \alpha & \cdots & \pi/2 & \cdots \\ \hline g'(\theta) & + & 0 & – & 0 & + & 0 & - \\ \hline g(\theta) & \nearrow & 1 & \searrow & 2/\sqrt{5} & \nearrow & 2 & \searrow \end{array}$$

よって、局所的な極大値は $1,2$、極小値は $2/\sqrt{5}$ である。特に、最大値は $2$、最小値は $2/\sqrt{5}$ である。

設問2

(1)

原点を $O$ とし、ヤギの座標を $P$ とし、ヤギが点 $(1,0)$ からヒモをたるませずに立っている状況を想定することにします。 ヒモと円筒の接点を $Q$ とし、 $x$ 軸と線分 $OQ$ のなす角度を反時計回りを正として $\theta$ と定義します。

$P, Q$ の座標ベクトルをそれぞれ $p, q$ とし、直線 $QP$ の単位方向ベクトル、すなわち点 $Q$ の円筒に関する接線の単位方向ベクトルを $t$ とすると、以下が成り立ちます。

$$q = (\cos\theta,~\sin\theta),\quad t = (\cos(\pi/2-\theta),~-\sin(\pi/2-\theta))=(\sin\theta,~-\cos\theta)$$

一方、ほどけた紐の長さが扇型の弧の長さに相当して $\theta$ であることに注意すると、 $p$ は

$$p = q + \theta t$$

と表されます。したがって、円筒の半径を $r$ とおくと、ヤギの座標ベクトルは以下のように表されます。

$$p = (r\cos\theta+r\theta\sin\theta,~r\sin\theta-r\theta\cos\theta)$$

本問では $r=1$ であり、求める範囲は $0\leq\theta\leq\pi$ である。

(2)

(1) で求めた範囲における移動距離を $L_1$ 、 $x < -1$ の半円弧を $L_2$ とすると、ヤギがヒモをたるませず円筒周りを一周したときの総移動距離 $L$ は

$$L = 2L_{1}+L_{2} = 2L_{1}+\pi^{2}$$

と表されます。ここで、

$$\begin{aligned} L_1 &= \int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{\left(\frac{dx}{d\theta}\right)^{2}+\left(\frac{dy}{d\theta}\right)^{2}}d\theta \\ &= \int_{0}^{\pi}\sqrt{\left(\theta\cos\theta\right)^{2}+\left(\theta\sin\theta\right)^{2}}d\theta \\ &= \int_{0}^{\pi}\theta d\theta \\ &= \frac{\pi^{2}}{2} \end{aligned}$$

ゆえに、求める答えは

$$L = 2\cdot\frac{\pi^{2}}{2}+\pi^{2} = 2\pi^{2}$$

(3)

$L_1$ , 円筒, $x = -1$ に囲まれる面積を $S_1$ とし, $L_2$ , $x = -1$ に囲まれる面積を $S_2$ とし、

$$\begin{aligned} S &= 2S_{1}+S_{2} \\ &= 2\int_{0}^{\pi}\frac{1}{2}\theta^{2}d\theta + \frac{\pi^{3}}{2} \\ &=2 \cdot \frac{\pi^3}{6}+\frac{\pi^{3}}{2} \\ &= \frac{5 \pi^3}{6} \end{aligned}$$

を計算できる。