京都大学 情報学研究科 知能情報学専攻 2021年8月実施 情報学基礎 F1-1

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• Matrix-Diagonalization
• Matrix-Limit
• Orthogonal-Decomposition
• Singular-Value-Decomposition

Author

Isidore

Description

設問1

以下で定義される実行列 $A$ と $B$ 、および実数ベクトル $x$ に関して、以下の問いに答えよ。 ここで、 $\|x\|$ は $x$ の長さを表す。

$$A = \begin{pmatrix} 1 & -\sqrt{3} \\ \sqrt{3} & 1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} r & 0 \\ 0 & r \end{pmatrix}, \quad x = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}, \quad \|x\| > 0$$

(1) $A^3$ を求めよ。

(2) $A^{-1}$ を求めよ。

(3) $A^{15}$ を求めよ。

(4) $\lim_{n \to \infty} \|(AB)^n x\|$ を求めよ。ここで、 $n$ は自然数とする。

設問2

$m \times n$ ( $m > n$ ) の実行列 $A$ と以下で定義される行列 $B$ と $C$ を考える。ここで、 $T$ は転置を表すものとする。 また、内積 $(a, b)$ を以下で定義する。 ここで、 $a$ と $b$ は $l$ 次元ベクトル、 $a_k$ は $a$ の $k$ 番目の要素、 $b_k$ は $b$ の $k$ 番目の要素とする。

$$B = A^T A, \quad C = A A^T, \quad (a, b) = \sum_{k=1}^l a_k b_k$$

以下の問いに答えよ。必要であれば、実対称行列に関する以下の性質を使用せよ：

• 実対称行列の固有値は全て実数である。
• 実対称行列のどの固有値に対しても、実ベクトルからなる固有ベクトルをとることができる。

(1) $B$ と $C$ がともに実対称行列であることを示せ。

(2) $B$ の全ての固有値が非負であることを示せ。

(3) 実対称行列は直交行列で対角化できる。 $B$ を対角化する直交行列の列ベクトルは、いずれも $B$ の固有ベクトルである。 これらのうち正の固有値 $\lambda_i, \lambda_j$ に対応する固有ベクトルを $p_i, p_j$ とし、 $q_i$ と $q_j$ を

$$q_i = \frac{1}{\sqrt{\lambda_i}} A p_i, \ q_j = \frac{1}{\sqrt{\lambda_j}} A p_j$$

で与えられるベクトルとする。 $q_i, q_j$ が $C$ の固有ベクトルであって対応する固有値はそれぞれ $\lambda_i, \lambda_j$ であること、および

$$(q_i, q_j) = \begin{cases} 0 & (i \neq j) \\ 1 & (i = j) \end{cases}$$

であることを示せ。また、

$$p_i = \frac{1}{\sqrt{\lambda_i}} A^T q_i$$

であることを示せ。

题目描述

回答以下两题。

1. 给定实数 $r$、非零实向量 $\boldsymbol{x}$ 以及实矩阵

$$A= \begin{pmatrix} 1&-\sqrt{3}\\ \sqrt{3}&1 \end{pmatrix}, \qquad B= \begin{pmatrix} r&0\\ 0&r \end{pmatrix}, \qquad \boldsymbol{x}= \begin{pmatrix} x_1\\ x_2 \end{pmatrix}, \qquad \|\boldsymbol{x}\|>0,$$

其中 $\|\boldsymbol{x}\|$ 表示向量长度。完成：

1. 求 $A^3$。

2. 求 $A^{-1}$。

3. 求 $A^{15}$。

4. 当自然数 $n\to\infty$ 时，求 $\|(AB)^n\boldsymbol{x}\|$ 的极限；答案应按参数 $r$ 的取值讨论，包括极限不存在或发散的情形。

5. 设 $A$ 是 $m\times n$ 实矩阵，且 $m>n$。定义

$$B=A^\top A,\qquad C=AA^\top,\qquad (\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}) =\sum_{k=1}^{l}a_kb_k,$$

其中 $\top$ 表示转置，最后一个公式定义 $l$ 维向量 $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$ 的内积。必要时可以使用以下事实：实对称矩阵的特征值全为实数；对它的任一特征值，都可以选取实特征向量。

1. 证明 $B$ 和 $C$ 都是实对称矩阵。
2. 证明 $B$ 的所有特征值均非负。
3. 实对称矩阵可以用正交矩阵对角化。设该正交矩阵中对应于 $B$ 的正特征值 $\lambda_i,\lambda_j$ 的列特征向量分别为 $\boldsymbol{p}_i,\boldsymbol{p}_j$，并定义

$$\boldsymbol{q}_i =\frac{1}{\sqrt{\lambda_i}}A\boldsymbol{p}_i, \qquad \boldsymbol{q}_j =\frac{1}{\sqrt{\lambda_j}}A\boldsymbol{p}_j.$$

证明 $\boldsymbol{q}_i,\boldsymbol{q}_j$ 是 $C$ 的特征向量，对应特征值分别为 $\lambda_i,\lambda_j$；证明

$$(\boldsymbol{q}_i,\boldsymbol{q}_j) = \begin{cases} 0,&i\ne j,\\ 1,&i=j; \end{cases}$$

并证明

$$\boldsymbol{p}_i =\frac{1}{\sqrt{\lambda_i}}A^\top\boldsymbol{q}_i.$$

Kai

設問1

(1)

$$A^{3} = \begin{pmatrix} -8 & 0 \\ 0 & -8 \\ \end{pmatrix}$$

(2)

$$A^{-1} = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} 1 & \sqrt{3} \\ -\sqrt{3} & 1 \\ \end{pmatrix}$$

(3)

$$A^{15}=(A^3)^5=(-8E)^5=-2^{15}E$$

(4)

Let the required value denote $I$ , and we have

$$I = \lim_{n \rightarrow \infty}\|(AB)^nx\| = \lim_{n \rightarrow \infty}\|(-8r^3E)^{\frac{n}{3}}x\|$$

Obviously, the limit converges if and only if

$$-8r^3 \in [-1, 1]$$

Hence, when $r \in (-\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ , we have

$$I = 0$$

Particularly, when $r=\pm \frac{1}{2}$ , we have

$$I = \lim_{n \rightarrow \infty}\|(-1)^{\frac{n}{3}}x\| = \|x\| = \sqrt{x_1^2+x_2^2}$$

設問2

(1)

Obviously, as $A$ is a real matrix, $B$ and $C$ are both real matrices. Also,

$$\begin{aligned} B^T &= (A^T A)^T = A^T (A^T)^T = A^T A = B\\ C^T &= (A A^T)^T = (A^T)^T A^T = A A^T = C \end{aligned}$$

hence $B$ and $C$ are real symmetric matrices.

(2)

Consider B's eigenvalue, we have

$$A^TAx=\lambda x$$

hence,

$$x^TA^TAx = \lambda x^Tx$$

hence,

$$\lambda = \frac{x^TA^TAx}{x^Tx} = \frac{\|Ax\|}{\|x\|} \geq 0$$

(3)

Consider the eigenvalue $\lambda_i$ with its eigenvector $p_i$ , we have

$$A^TAp_i=\lambda_ip_i$$

Left-multiply by $\frac{1}{\sqrt{\lambda_i}}A$ , we have

$$\frac{1}{\sqrt{\lambda_i}}AA^TAp_i = \sqrt{\lambda_i}Ap_i \\ AA^T(\frac{1}{\sqrt{\lambda_i}}Ap_i) = \lambda_i(\frac{1}{\sqrt{\lambda_i}}Ap_i)$$

since $q_i = \frac{1}{\sqrt{\lambda_i}}Ap_i$ , we have

$$Cq_i = \lambda_i q_i$$

Similarly, we have $Cq_j = \lambda_j q_j$ for a different eigenvalue $\lambda_j$ . Therefore, $q_i$ and $q_j$ are eigenvectors of C corresponding to eigenvalues $\lambda_i$ and $\lambda_j$ .

Now we consider the inner product of $q_i$ and $q_j$

$$q_i^Tq_j = \frac{1}{\sqrt{\lambda_i \lambda_j}}(Ap_i)^T(Ap_j) = \frac{\sqrt{\lambda_j}}{\sqrt{\lambda_i}}p_i^Tp_j$$

Obviously, if $i \neq j$ , as $B$ is a real symmetric matrix, $p_i^Tp_j = 0$ . If $i = j$ , $p_i^Tp_j = 1$ Therefore, we have

$$q_i^Tq_j = \begin{cases} 0 & \text{if } i \neq j \\ 1 & \text{if } i = j \end{cases}$$

Finally, insert $q_i = \frac{1}{\sqrt{\lambda_i}}Ap_i$ to $\frac{1}{\sqrt{\lambda_i}}A^Tq_i$ , we immediately have

$$\frac{1}{\sqrt{\lambda_i}}A^Tq_i = \frac{1}{\sqrt{\lambda_i}}A^T\frac{1}{\sqrt{\lambda_i}}Ap_i = \frac{1}{\lambda_i}A^TAp_i = p_i$$

Q.E.D