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京都大学 情報学研究科 知能情報学専攻 2021年8月実施 情報学基礎 F1-1

Author

Isidore

Description

設問1

以下で定義される実行列 、および実数ベクトル に関して、以下の問いに答えよ。 ここで、 の長さを表す。

(1) を求めよ。

(2) を求めよ。

(3) を求めよ。

(4) を求めよ。ここで、 は自然数とする。

設問2

() の実行列 と以下で定義される行列 を考える。ここで、 は転置を表すものとする。 また、内積 を以下で定義する。 ここで、 次元ベクトル、 番目の要素、 番目の要素とする。

以下の問いに答えよ。必要であれば、実対称行列に関する以下の性質を使用せよ:

  • 実対称行列の固有値は全て実数である。
  • 実対称行列のどの固有値に対しても、実ベクトルからなる固有ベクトルをとることができる。

(1) がともに実対称行列であることを示せ。

(2) の全ての固有値が非負であることを示せ。

(3) 実対称行列は直交行列で対角化できる。 を対角化する直交行列の列ベクトルは、いずれも の固有ベクトルである。 これらのうち正の固有値 に対応する固有ベクトルを とし、

で与えられるベクトルとする。 の固有ベクトルであって対応する固有値はそれぞれ であること、および

であることを示せ。また、

であることを示せ。

Kai

設問1

(1)

(2)

(3)

(4)

Let the required value denote , and we have

Obviously, the limit converges if and only if

Hence, when , we have

Particularly, when , we have

設問2

(1)

Obviously, as is a real matrix, and are both real matrices. Also,

hence and are real symmetric matrices.

(2)

Consider B's eigenvalue, we have

hence,

hence,

(3)

Consider the eigenvalue with its eigenvector , we have

Left-multiply by , we have

since , we have

Similarly, we have for a different eigenvalue . Therefore, and are eigenvectors of C corresponding to eigenvalues and .

Now we consider the inner product of and

Obviously, if , as is a real symmetric matrix, . If , Therefore, we have

Finally, insert to , we immediately have

Q.E.D