京都大学 情報学研究科 知能情報学専攻 2021年8月実施 情報学基礎 F1-1

Author

Isidore

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設問1

以下で定義される実行列 と 、および実数ベクトル に関して、以下の問いに答えよ。 ここで、 は の長さを表す。

(1) を求めよ。

(2) を求めよ。

(3) を求めよ。

(4) を求めよ。ここで、 は自然数とする。

設問2

() の実行列 と以下で定義される行列 と を考える。ここで、 は転置を表すものとする。 また、内積 を以下で定義する。 ここで、 と は 次元ベクトル、 は の 番目の要素、 は の 番目の要素とする。

以下の問いに答えよ。必要であれば、実対称行列に関する以下の性質を使用せよ：

• 実対称行列の固有値は全て実数である。
• 実対称行列のどの固有値に対しても、実ベクトルからなる固有ベクトルをとることができる。

(1) と がともに実対称行列であることを示せ。

(2) の全ての固有値が非負であることを示せ。

(3) 実対称行列は直交行列で対角化できる。 を対角化する直交行列の列ベクトルは、いずれも の固有ベクトルである。 これらのうち正の固有値 に対応する固有ベクトルを とし、 と を

で与えられるベクトルとする。 が の固有ベクトルであって対応する固有値はそれぞれ であること、および

であることを示せ。また、

であることを示せ。

Kai

設問1

(1)

(2)

(3)

(4)

Let the required value denote , and we have

Obviously, the limit converges if and only if

Hence, when , we have

Particularly, when , we have

設問2

(1)

Obviously, as is a real matrix, and are both real matrices. Also,

hence and are real symmetric matrices.

(2)

Consider B's eigenvalue, we have

hence,

hence,

(3)

Consider the eigenvalue with its eigenvector , we have

Left-multiply by , we have

since , we have

Similarly, we have for a different eigenvalue . Therefore, and are eigenvectors of C corresponding to eigenvalues and .

Now we consider the inner product of and

Obviously, if , as is a real symmetric matrix, . If , Therefore, we have

Finally, insert to , we immediately have

Q.E.D