京都大学 情報学研究科 知能情報学専攻 2020年8月実施 情報学基礎 F1-2

标签：

• 京都大学
• 约束最优化
• 反常积分
• 伽马函数

Author

祭音Myyura

Description

大学公表の原題

設問1

下記の問いに答えよ。

(1) $x+y=3$ のもとで、 $x^2+y^2$ の最小値を求めよ。

(2) $x^2+y^2=1$ のもとで、 $xy+x$ の最小値を求めよ。

設問2

以下の積分を求めよ。

(1) $\int_0^{\infty} e^{-x}xdx$

(2) $\int_0^{\infty} e^{-x^2}x^3dx$

(3) $\int_0^{\infty} e^{-x^2}x^{15}dx$

题目描述

回答以下两题。

1. 求下列约束条件下的最小值：

   1. 在 $x+y=3$ 的条件下，求 $x^2+y^2$ 的最小值。
   2. 在 $x^2+y^2=1$ 的条件下，求 $xy+x$ 的最小值。

2. 计算下列三个广义积分：

$$\int_0^\infty e^{-x}x\,dx,\qquad \int_0^\infty e^{-x^2}x^3\,dx,\qquad \int_0^\infty e^{-x^2}x^{15}\,dx.$$

Kai

設問1

(1)

$g(x,y) = x+y-3, f(x,y)=x^2+y^2$ とおくと、ラグランジュ関数 $L(x,y,\lambda)$

$$\begin{aligned} L(x, y, \lambda) &= f(x,y) - \lambda g(x, y) \\ &= x^2 + y^2 - \lambda (x + y - 3) \end{aligned}$$

それぞれの変数に対して偏微分すると，

$$\begin{aligned} \frac{\partial L}{\partial x} &= 2x - \lambda = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial y} &= 2y - \lambda = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial \lambda} &= -x-y+3 = 0 \end{aligned}$$

$x^2+y^2=\frac{(x+y)^2+(x-y)^2}{2}=\frac92+\frac{(x-y)^2}{2}$ なので、

よって、 $x = y = \frac{3}{2}$ 、最小値は $\frac{9}{2}$ 。

(2)

$g(x,y)=x^2+y^2-1, f(x,y)=xy + x$ とおくと、ラグランジュ関数 $L(x,y,\lambda)$

$$\begin{aligned} L(x, y, \lambda) &= f(x,y) - \lambda g(x, y) \\ &= xy + x - \lambda (x^2 + y^2 - 1) \end{aligned}$$

それぞれの変数に対して偏微分すると，

$$\begin{aligned} \frac{\partial L}{\partial x} &= y+1 - 2\lambda x = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial y} &= x - 2\lambda y = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial \lambda} &= -x^2-y^2+1 = 0 \end{aligned}$$

よって、

$$(x,y) = (0, -1),~(\pm \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$$

$$f(0, -1) = 0,\quad f(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}) = \frac{3\sqrt{3}}{4},\quad f(-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}) = -\frac{3\sqrt{3}}{4}$$

したがって，求める最小値は $-\frac{3\sqrt{3}}{4}$ です。

設問2

以下では $a>0$、$n$ は非負整数とする。漸化式は $I_n$ では $n\ge1$、$T_n$ では $n\ge2$ に適用する。

(1)

$$\begin{aligned} I_n &= \int_{0}^{\infty} x^n e^{-ax}dx \\ &= \int_{0}^{\infty} x^n (-\frac{1}{a}e^{-ax})'dx \\ &= -\frac{1}{a}\left[ x^n e^{-ax}\right]_{0}^{\infty} + \frac{n}{a} \int_{0}^{\infty} x^{n-1} e^{-ax}dx \\ &= \frac{n}{a} I_{n-1} \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} I_0 = \int_{0}^{\infty} e^{-ax}dx = \left[ -\frac{1}{a} e^{-ax} \right]_{0}^{\infty} = \frac{1}{a} \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} I_n = \frac{n}{a} I_{n-1} = \frac{n!}{a^n} I_{0} = \frac{n!}{a^{n+1}} \end{aligned}$$

$$\int_0^{\infty} e^{-x}xdx =I_1 = \frac{1!}{1^{(1+1)}} = 1$$

(2)

$$\begin{aligned} T_{n} &= \int_{0}^{\infty} x^{n} e^{-a x^{2}} dx \\ &= \int_{0}^{\infty} x^{(n-1)} \cdot x e^{-a x^{2}} d x \\ &=-\frac{1}{2 a} \int_{0}^{\infty} x^{(n-1)} \left(-2 a x e^{-a x^{2}}\right) d x \\ &=\left[-\frac{1}{2 a} x^{(n-1)} e^{-a x^{2}}\right]_{0}^{\infty}-\left(-\frac{1}{2 a}\right) \int_{0}^{\infty}(n-1) x^{(n-2)} e^{-a x^{2}} d x \\ &=\frac{n-1}{2 a} \int_{0}^{\infty} x^{(n-2)} e^{-a x^{2}} d x \\ &=\frac{n-1}{2 a} T_{n-2} \end{aligned}$$

$n$ が奇数と偶数で場合分けをすると

$$\begin{aligned} T_n &= \begin{cases} \displaystyle \frac{2k-1}{2a}T_{2(k-1)} \quad &(n=2k)\\ \displaystyle \frac{k}{a}T_{2k-1} \quad &(n=2k+1) \end{cases} \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} T_0 &= \int_{0}^{\infty} e^{-ax^2}dx = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{a}}\\ T_1 &= \int_{0}^{\infty} x e^{-ax^2}dx = \frac{1}{2a} \end{aligned}$$

したがって、

$$\begin{cases} T_n = \frac{2k-1}{2a}T_{2(k-1)} = \frac{(2k-1)!!}{(2a)^k} T_0 = \frac{(2k-1)!!}{2^{k+1}a^k} \sqrt{\frac{\pi}{a}} &(n=2k) \\ T_n = \frac{k}{a}T_{2k-1} = \frac{k!}{a^k} T_1 = \frac{k!}{a^k}\cdot \frac{1}{2a} = \frac{k!}{2a^{k+1}} &(n=2k+1) \end{cases}$$

最後に、

$$\int_0^{\infty} e^{-x^2}x^3dx =T_3 = \frac{1!}{2\cdot 1^{1+1}} = \frac{1}{2}$$

(3)

$$\int_0^{\infty} e^{-x^2}x^{15}dx = T_{15} = \frac{7!}{2\cdot 1^{7+1}} = \frac{7!}{2}$$