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京都大学 情報学研究科 知能情報学専攻 2020年8月実施 情報学基礎 F1-2

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Author​

祭音Myyura

Description​

設問1​

下記の問いに答えよ。

(1) x+y=3x+y=3 のもとで、x2+y2x^2+y^2 の最小値を求めよ。

(2) x2+y2=1x^2+y^2=1 のもとで、xy+xxy+x の最小値を求めよ。

設問2​

以下の積分を求めよ。

(1) ∫0∞e−xxdx\int_0^{\infty} e^{-x}xdx

(2) ∫0∞e−x2x3dx\int_0^{\infty} e^{-x^2}x^3dx

(3) ∫0∞e−x2x15dx\int_0^{\infty} e^{-x^2}x^{15}dx

Kai​

設問1​

(1)​

g(x,y)=x+y−3,f(x,y)=x2+y2g(x,y) = x+y-3, f(x,y)=x^2+y^2 とおくと、ラグランジュ関数 L(x,y,λ)L(x,y,\lambda)

L(x,y,λ)=f(x,y)−λg(x,y)=x2+y2−λ(x+y−3)\begin{aligned} L(x, y, \lambda) &= f(x,y) - \lambda g(x, y) \\ &= x^2 + y^2 - \lambda (x + y - 3) \end{aligned}

それぞれの変数に対して偏微分すると，

∂L∂x=2x−λ=0∂L∂y=2y−λ=0∂L∂λ=x+y−3=0\begin{aligned} \frac{\partial L}{\partial x} &= 2x - \lambda = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial y} &= 2y - \lambda = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial \lambda} &= x+y-3 = 0 \end{aligned}

よって、x=y=32x = y = \frac{3}{2}、最小値は 92\frac{9}{2}。

(2)​

g(x,y)=x2+y2−1,f(x,y)=xy+xg(x,y)=x^2+y^2-1, f(x,y)=xy + x とおくと、ラグランジュ関数 L(x,y,λ)L(x,y,\lambda)

L(x,y,λ)=f(x,y)−λg(x,y)=xy+x−λ(x2+y2−1)\begin{aligned} L(x, y, \lambda) &= f(x,y) - \lambda g(x, y) \\ &= xy + x - \lambda (x^2 + y^2 - 1) \end{aligned}

それぞれの変数に対して偏微分すると，

∂L∂x=y+1−2λx=0∂L∂y=x−2λy=0∂L∂λ=−x2−y2+1=0\begin{aligned} \frac{\partial L}{\partial x} &= y+1 - 2\lambda x = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial y} &= x - 2\lambda y = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial \lambda} &= -x^2-y^2+1 = 0 \end{aligned}

よって、

(x,y)=(0,−1), (±32,12)(x,y) = (0, -1),~(\pm \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})
f(0,−1)=0,f(32,12)=334,f(−32,12)=−334f(0, -1) = 0,\quad f(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}) = \frac{3\sqrt{3}}{4},\quad f(-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}) = -\frac{3\sqrt{3}}{4}

したがって，求める最小値は −334-\frac{3\sqrt{3}}{4} です。

設問2​

(1)​

In=∫0∞xne−axdx=∫0∞xn(−1ae−ax)′dx=−1a[xne−ax]0∞+na∫0∞xn−1e−axdx=naIn−1\begin{aligned} I_n &= \int_{0}^{\infty} x^n e^{-ax}dx \\ &= \int_{0}^{\infty} x^n (-\frac{1}{a}e^{-ax})'dx \\ &= -\frac{1}{a}\left[ x^n e^{-ax}\right]{0}^{\infty} + \frac{n}{a} \int{0}^{\infty} x^{n-1} e^{-ax}dx \\ &= \frac{n}{a} I_{n-1} \end{aligned}
I0=∫0∞e−axdx=[−1ae−ax]0∞=1a\begin{aligned} I_0 = \int_{0}^{\infty} e^{-ax}dx = \left[ -\frac{1}{a} e^{-ax} \right]_{0}^{\infty} = \frac{1}{a} \end{aligned}
In=naIn−1=n!anI0=n!an+1\begin{aligned} I_n = \frac{n}{a} I_{n-1} = \frac{n!}{a^n} I_{0} = \frac{n!}{a^{n+1}} \end{aligned}
∫0∞e−xxdx=I1=1!1(1+1)=1\int_0^{\infty} e^{-x}xdx =I_1 = \frac{1!}{1^{(1+1)}} = 1

(2)​

Tn=∫0∞xne−ax2dx=∫0∞x(n−1)⋅xe−ax2dx=−12a∫0∞x(n−1)(−2axe−ax2)dx=[−12ax(n−1)e−ax2]0∞−(−12a)∫0∞(n−1)x(n−2)e−ax2dx=n−12a∫0∞x(n−2)e−ax2dx=n−12aTn−2\begin{aligned} T_{n} &= \int_{0}^{\infty} x^{n} e^{-a x^{2}} dx \\ &= \int_{0}^{\infty} x^{(n-1)} \cdot x e^{-a x^{2}} d x \\ &=-\frac{1}{2 a} \int_{0}^{\infty} x^{(n-1)} \left(-2 a x e^{-a x^{2}}\right) d x \\ &=\left[-\frac{1}{2 a} x^{(n-1)} e^{-a x^{2}}\right]{0}^{\infty}-\left(-\frac{1}{2 a}\right) \int{0}^{\infty}(n-1) x^{(n-2)} e^{-a x^{2}} d x \\ &=\frac{n-1}{2 a} \int_{0}^{\infty} x^{(n-2)} e^{-a x^{2}} d x \\ &=\frac{n-1}{2 a} T_{n-2} \end{aligned}

nn が奇数と偶数で場合分けをすると

Tn={2k−12aT2(k−1)(n=2k)kaT2k−1(n=2k+1)\begin{aligned} T_n &= \begin{cases} \displaystyle \frac{2k-1}{2a}T_{2(k-1)} \quad &(n=2k)\\ \displaystyle \frac{k}{a}T_{2k-1} \quad &(n=2k+1) \end{cases} \end{aligned}
T0=∫0∞e−ax2dx=12πaT1=∫0∞xe−ax2dx=12a\begin{aligned} T_0 &= \int_{0}^{\infty} e^{-ax^2}dx = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{a}}\\ T_1 &= \int_{0}^{\infty} x e^{-ax^2}dx = \frac{1}{2a} \end{aligned}

したがって、

{Tn=2k−12aT2(k−1)=(2k−1)!!(2a)kT0=(2k−1)!!2k+1akπa(n=2k)Tn=kaT2k−1=k!akT1=k!ak⋅12a=k!2ak+1(n=2k+1)\begin{cases} T_n = \frac{2k-1}{2a}T_{2(k-1)} = \frac{(2k-1)!!}{(2a)^k} T_0 = \frac{(2k-1)!!}{2^{k+1}a^k} \sqrt{\frac{\pi}{a}} &(n=2k) \\ T_n = \frac{k}{a}T_{2k-1} = \frac{k!}{a^k} T_1 = \frac{k!}{a^k}\cdot \frac{1}{2a} = \frac{k!}{2a^{k+1}} &(n=2k+1) \end{cases}

最後に、

∫0∞e−x2x3dx=T1=1!2⋅11+1=12\int_0^{\infty} e^{-x^2}x^3dx =T_1 = \frac{1!}{2\cdot 1^{1+1}} = \frac{1}{2}

(3)​

∫0∞e−x2x15dx=T7=7!2⋅17+1=7!2\int_0^{\infty} e^{-x^2}x^{15}dx = T_7 = \frac{7!}{2\cdot 1^{7+1}} = \frac{7!}{2}
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