京都大学 情報学研究科 知能情報学専攻 2020年8月実施 情報学基礎 F1-1

标签：

• Kyoto-University
• Matrix-Determinant
• Skew-Symmetric-Matrix
• Eigenvalues-and-Eigenvectors

Author

Isidore, 祭音Myyura

Description

設問1

以下の問いに答えよ。

(1) 次式で与えられる正方行列 $D$ の行列式を求めよ。

$$D = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 & 0 \\ 2 & 3 & 0 & 1 \\ 3 & 0 & 1 & 2 \\ \end{pmatrix}$$

(2) 次式で与えられる正方行列 $X$ を考える。

$$X = \begin{pmatrix} 2 & a & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & b \end{pmatrix}$$

ここで、$a$ および $b$ は実数とする。 $X^3 - 5X^2 + 8X - 4E = O$ を満たすとき、$a$ および $b$ を求めよ。 ここで、$E$ および $O$ はそれぞれ単位行列および零行列を表す。

設問2

ある正方行列 $A$ が実歪対称行列であり、$A$ のすべての要素が実数であり、かつ $A^T = -A$ を満たす場合を言う。 ここで、$A^T$ は行列の転置を表す。以下の問いに答えよ。

(1) $2 \times 2$ および $3 \times 3$ の実歪対称行列の一般形を示せ。

(2) 任意の奇数 $n$ に対して、$n \times n$ の実歪対称行列は正則でないことを示せ。

(3) 実歪対称行列のすべての固有値は $0$ あるいは純虚数であることを示せ。

题目描述

1. 回答：
   1. 求
      $$D=\begin{pmatrix} 0&1&2&3\\1&2&3&0\\2&3&0&1\\3&0&1&2 \end{pmatrix}$$
      的行列式。
   2. 设
      $$X=\begin{pmatrix}2&a&0\\0&2&0\\0&0&b\end{pmatrix},$$
      其中 $a,b\in\mathbb R$。若 $X^3-5X^2+8X-4E=O$，求 $a,b$；$E,O$ 分别为单位矩阵、零矩阵。
2. 实斜对称矩阵指实方阵 $A$ 满足 $A^\top=-A$。
   1. 写出 $2\times2$ 与 $3\times3$ 实斜对称矩阵的一般形式。
   2. 证明任意奇数阶实斜对称矩阵均不可逆。
   3. 证明实斜对称矩阵的特征值只能为 $0$ 或纯虚数。

考点

• 行列式与矩阵多项式：利用行列变换/结构计算四阶行列式，并逐元素分析上三角含参数矩阵满足的多项式恒等式。
• 斜对称矩阵：由转置行列式关系证明奇数阶行列式为零，并用复内积证明特征值实部为零。
• 特征值约束：把矩阵结构与特征方程结合，刻画零和成共轭对的纯虚特征值。

Kai

設問1

(1)

$$|D| = 96$$

(2)

$$X^2 = \begin{bmatrix} 4 & 4a & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & b^2 \\ \end{bmatrix} \; X^3 = \begin{bmatrix} 8 & 12a & 0 \\ 0 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & b^3 \\ \end{bmatrix}$$

substitute above matrix into the equation, we have

$$b = 1 \text{ or } b = 2$$

and $a$ could be an arbitrary real number.

設問2

(1)

$$\begin{bmatrix} 0 & a \\ -a & 0 \\ \end{bmatrix}$$

$$\begin{bmatrix} 0 & a & b \\ -a & 0 & c \\ -b & -c & 0 \\ \end{bmatrix}$$

(2)

Let $A$ denote a skew-symmetric matrix.

$$\begin{aligned} \det |A| &= \det|A|^T \\ &= \det|A^T| \\ &= \det|-A|\\ &= (-1)^n\det|A| \end{aligned}$$

when $n$ is odd, we have $\det|A|=-\det|A|$, i.e., $\det|A|=0$, hence $A$ is non-invertible.

(3)

$$\begin{aligned} A\textbf{x} &=\lambda \textbf{x}\\ \left(A\textbf{x}^*\right)^T\textbf{x}&=\left(\lambda^*\textbf{x}^*\right)^T\textbf{x}\\ \left(\textbf{x}^*\right)^TA^T\textbf{x}&=\lambda^*\left(\textbf{x}^*\right)^T\textbf{x}\\ \left(\textbf{x}^*\right)^T\left(-A\right)\textbf{x}&=\lambda^*\left(\textbf{x}^*\right)^T\textbf{x}\\ \left(\textbf{x}^*\right)^T\left(-\lambda\textbf{x}\right)&=\lambda^*\left(\textbf{x}^*\right)^T\textbf{x}\\ -\lambda\|\textbf{x}\|^2&=\lambda^*\|\textbf{x}\|^2\\ -\lambda&=\lambda^*\\ \therefore \Re(\lambda)&=0 \end{aligned}$$

where the notation $*$ is for complex conjugation. Therefore, the eigenvalues of real skew-symmetric matrices are purely imaginary numbers.