京都大学 情報学研究科 知能情報学専攻 2020年8月実施 情報学基礎 F1-1

标签：

• 京都大学
• 行列式
• 反对称矩阵
• 特征值与特征向量

Author

Isidore, 祭音Myyura

Description

大学公表の原題

設問1

以下の問いに答えよ。

(1) 次式で与えられる正方行列 $D$ の行列式を求めよ。

$$D = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 & 0 \\ 2 & 3 & 0 & 1 \\ 3 & 0 & 1 & 2 \\ \end{pmatrix}$$

(2) 次式で与えられる正方行列 $X$ を考える。

$$X = \begin{pmatrix} 2 & a & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & b \end{pmatrix}$$

ここで、 $a$ および $b$ は実数とする。 $X^3 - 5X^2 + 8X - 4E = O$ を満たすとき、 $a$ および $b$ を求めよ。 ここで、 $E$ および $O$ はそれぞれ単位行列および零行列を表す。

設問2

ある正方行列 $A$ が実歪対称行列であり、 $A$ のすべての要素が実数であり、かつ $A^T = -A$ を満たす場合を言う。 ここで、 $A^T$ は行列の転置を表す。以下の問いに答えよ。

(1) $2 \times 2$ および $3 \times 3$ の実歪対称行列の一般形を示せ。

(2) 任意の奇数 $n$ に対して、 $n \times n$ の実歪対称行列は正則でないことを示せ。

(3) 実歪対称行列のすべての固有値は $0$ あるいは純虚数であることを示せ。

题目描述

回答以下两题。

1. 求下列 $4\times4$ 方阵的行列式：

$$D= \begin{pmatrix} 0&1&2&3\\ 1&2&3&0\\ 2&3&0&1\\ 3&0&1&2 \end{pmatrix}.$$

再考虑实参数 $a,b$ 与矩阵

$$X= \begin{pmatrix} 2&a&0\\ 0&2&0\\ 0&0&b \end{pmatrix}.$$

若

$$X^3-5X^2+8X-4E=O,$$

其中 $E$、$O$ 分别表示单位矩阵和零矩阵，求所有满足条件的 $a$ 与 $b$。

2. 实斜对称矩阵是元素均为实数且满足 $A^\top=-A$ 的方阵，其中 $\top$ 表示转置。完成下列各问：

   1. 分别写出 $2\times2$ 和 $3\times3$ 实斜对称矩阵的一般形式。
   2. 证明对任意奇数 $n$，每个 $n\times n$ 实斜对称矩阵都不可逆。
   3. 证明实斜对称矩阵的每个特征值都是 $0$ 或纯虚数。

Kai

設問1

(1)

$$|D| = 96$$

(2)

$$X^2 = \begin{bmatrix} 4 & 4a & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & b^2 \\ \end{bmatrix} \; X^3 = \begin{bmatrix} 8 & 12a & 0 \\ 0 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & b^3 \\ \end{bmatrix}$$

substitute above matrix into the equation, we have

$$b = 1 \text{ or } b = 2$$

and $a$ could be an arbitrary real number.

設問2

(1)

$$\begin{bmatrix} 0 & a \\ -a & 0 \\ \end{bmatrix}$$

$$\begin{bmatrix} 0 & a & b \\ -a & 0 & c \\ -b & -c & 0 \\ \end{bmatrix}$$

(2)

Let $A$ denote a skew-symmetric matrix.

$$\begin{aligned} \det A &= \det A^T \\ &= \det A^T \\ &= \det(-A)\\ &= (-1)^n\det A \end{aligned}$$

when $n$ is odd, we have $\det A=-\det A$ , i.e., $\det A=0$ , hence $A$ is non-invertible.

(3)

$$\begin{aligned} A\textbf{x} &=\lambda \textbf{x}\\ \left(A\textbf{x}^*\right)^T\textbf{x}&=\left(\lambda^*\textbf{x}^*\right)^T\textbf{x}\\ \left(\textbf{x}^*\right)^TA^T\textbf{x}&=\lambda^*\left(\textbf{x}^*\right)^T\textbf{x}\\ \left(\textbf{x}^*\right)^T\left(-A\right)\textbf{x}&=\lambda^*\left(\textbf{x}^*\right)^T\textbf{x}\\ \left(\textbf{x}^*\right)^T\left(-\lambda\textbf{x}\right)&=\lambda^*\left(\textbf{x}^*\right)^T\textbf{x}\\ -\lambda\|\textbf{x}\|^2&=\lambda^*\|\textbf{x}\|^2\\ -\lambda&=\lambda^*\\ \therefore \Re(\lambda)&=0 \end{aligned}$$

where the notation $*$ is for complex conjugation. Since $\boldsymbol{x}\ne0$, its squared norm is positive. Therefore, the eigenvalues of real skew-symmetric matrices are zero or purely imaginary numbers.