京都大学情報学研究科知能情報学専攻 2019年8月実施情報学基礎 F1-2

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祭音Myyura

大学公表の原題下記の問いに答えよ。

(1) 体積が一定な直円錐の側面積が最小となるのは、その高さと底面の半径の比がいくらのときか。

(2) 下記の積分を求めよ。

回答下列问题：

\int_0^1\log(1+\sqrt{x})\,dx;

\iint_D(x^2+y^2)^{-2}\,dx\,dy, \qquad D=\{(x,y)\mid x^2+y^2\geq1\}.

円錐の底面の半径を $r$ 、高さを $h$ とおくと、円錐の母線 $a$ 、体積 $V$ 、側面積 $S$ は以下のように表れる。

\begin{aligned} a &= \sqrt{r^2 + h^2}\\ V &= \frac{1}{3}\pi r^2 h\\ S &= \pi a^2 \frac{r}{a} = \pi r\sqrt{r^2 + h^2} \end{aligned}

そして、

\begin{aligned} S &= \pi r \sqrt{r^2 + h^2}\\ &= \pi \sqrt{r^2\left(r^2 + \frac{9V^2}{\pi^2r^4} \right)}\\ &= \pi \sqrt{r^4 + \frac{9V^2}{\pi^2r^2}}\\ &= \pi \sqrt{r^4 + \frac{9V^2}{2\pi^2r^2} + \frac{9V^2}{2\pi^2r^2}}\\ &\geq \pi \sqrt{3\left( \frac{81V^4}{4\pi^4} \right)^{\frac{1}{3}}} \end{aligned}

等号成立条件を考えると、

\begin{aligned} &r^4 = \frac{9V^2}{2\pi^2r^2} = \frac{9\left(\pi r^2 h/3 \right)^2}{2\pi^2r^2}\\ &\Rightarrow \frac{h}{r} = \sqrt{2} \end{aligned}

が得られる。

\begin{aligned} \int_0^1\log(1+\sqrt{x})dx &= \int_1^2\log t \cdot 2(t-1)dt\\ &= \left[(t-1)^{2}\log t \right]_1^2 - \int_1^2\frac{(t-1)^{2}}{t}dt\\ &= \log 2-\int_1^2\left(t-2+\frac{1}{t}\right)dt\\ &= \log 2-\left[\frac{t^{2}}{2}-2t+\log t\right]_1^2 \\ &= \frac{1}{2} \end{aligned}

\begin{cases} x = r\cos\theta\\ y = r\sin\theta \end{cases}

とおくと、変数変換後の積分領域 $D'$ は以下のように定められる。

D' = \{ (r,\theta):~1\leqq r,~0\leqq\theta<2\pi \}

また，ヤコビアンは

|J| = \begin{vmatrix} \cos \theta & -r\sin\theta \\ \sin \theta & r\cos \theta \end{vmatrix} = r \cos^2\theta + r \sin^2\theta = r

となる。従って、求める積分は

\begin{aligned} \iint_D (x^2 + y^2)^{-2}dxdy &= \iint_{D'} (r^2)^{-2}rdrd\theta\\ &= \int_0^{2\pi}d\theta \int_1^{\infty}r^{-3}dr\\ &= \pi \end{aligned}