京都大学 情報学研究科 知能情報学専攻 2019年8月実施 情報学基礎 F1-1

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Author

Miyake

Description

日本語版

設問1

以下の $2 \times 2$ 正方行列 $\boldsymbol{A}$ について考える。

$$\boldsymbol{A} = \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -2 & 7 \end{pmatrix}$$

このとき、以下の問いに答えよ。

(1) $\boldsymbol{A}$の行列式を求めよ。

(2) $\boldsymbol{A}$の逆行列を求めよ。

(3) $\boldsymbol{A}$の固有値と対応する固有ベクトルを全て求めよ。

(4) $\boldsymbol{A}$は正定値行列か判定せよ。理由も述べよ。

(5) $\boldsymbol{A}$を対角化せよ。

設問2

任意の実対称行列について、以下の問いに答えよ。

(1) すべての固有値が実数となることを証明せよ。

(2) 異なる固有値に対応する固有ベクトルは直交することを証明せよ。

Kai

設問1

(1)

$$\begin{aligned} \det A = 4 \cdot 7 - (-2) \cdot (-2) = 24 \end{aligned}$$

(2)

$$\begin{aligned} A^{-1} = \frac{1}{24} \begin{pmatrix} 7 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

(3)

$A$ の固有値 $\lambda$ は次のように求められる：

$$\begin{aligned} 0 &= \det \begin{pmatrix} 4 - \lambda & -2 \\ -2 & 7 - \lambda \end{pmatrix} = (4 - \lambda)(7 - \lambda) - 4 = (\lambda - 3)(\lambda - 8) \\ \therefore \ \ \lambda &= 3, 8 \end{aligned}$$

固有値 $\lambda = 3$ に属する固有ベクトルを求めるために、 次のようにおく：

$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -2 & 7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = 3 \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \end{aligned}$$

これから $x=2y$ がわかるので、例えば、

$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

が求める固有ベクトルである。

固有値 $\lambda = 8$ に属する固有ベクトルを求めるために、 次のようにおく：

$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -2 & 7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = 8 \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \end{aligned}$$

これから $2x=-y$ がわかるので、例えば、

$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

が求める固有ベクトルである。

(4)

任意の実数 $x,y$ について次のように計算できる：

$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} A \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -2 & 7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \\ &= 4x^2 - 4xy + 7y^2 \\ &= 4 \left( x - \frac{1}{2} y \right)^2 + 6y^2 . \end{aligned}$$

これは $x=y=0$ のときを除いて正の数であるので、 $A$ は正定値行列である。

(5)

(3) で求めた固有ベクトルを使って、

$$\begin{aligned} V = \frac{1}{\sqrt{5}} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

とおくと、その転置行列は、

$$\begin{aligned} V^T = \frac{1}{\sqrt{5}} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

となる。

これらを使って、次のように $A$ を対角化できる：

$$\begin{aligned} V^T A V &= \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -2 & 7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 8 \end{pmatrix} . \end{aligned}$$

設問1

行列やベクトルのエルミート共役を $\dagger$ , 複素数の複素共役を $\ast$ で表す。

(1)

実対称行列 $A$ の固有値を $\alpha$ とし、 これに属する固有ベクトルを $x$ とする：

$$\begin{aligned} A x = \alpha x \end{aligned}$$

両辺に左から $x^\dagger$ をかけると、次を得る：

$$\begin{aligned} x^\dagger A x = \alpha x^\dagger x \end{aligned}$$

これのエルミート共役をとり、 $A = A^\dagger$ を使うと、次を得る：

$$\begin{aligned} x^\dagger A x = \alpha^\ast x^\dagger x \end{aligned}$$

よって、次を得る：

$$\begin{aligned} \alpha^\ast x^\dagger x = \alpha x^\dagger x \end{aligned}$$

$x$ はゼロベクトルではなく $x^\dagger x \gt 0$ なので、 次を得る：

$$\begin{aligned} \alpha^\ast = \alpha \end{aligned}$$

すなわち、固有値 $\alpha$ は実数である。

(2)

実対称行列 $A$ の2つの相異なる固有値を $\alpha, \beta$ とし、

それぞれに属する固有ベクトルを $x, y$ とする：

$$\begin{aligned} A x = \alpha x , \ \ A y = \beta y \end{aligned}$$

1番目の式の両辺に左から $y^\dagger$ をかけ、

2番目の式の両辺に左から $x^\dagger$ をかけると、

次のようになる：

$$\begin{aligned} y^\dagger A x = \alpha y^\dagger x , \ \ x^\dagger A y = \beta x^\dagger y \end{aligned}$$

これの2番目の式のエルミート共役をとって、

$A^\dagger = A, \beta^\ast = \beta$ を使うと、次のようになる：

$$\begin{aligned} y^\dagger A x = \beta y^\dagger x \end{aligned}$$

よって、次を得る：

$$\begin{aligned} (\alpha - \beta) y^\dagger x = 0 \end{aligned}$$

$\alpha \ne \beta$ であるから、 $y^\dagger x = 0$ すなわち $x$ と $y$ は直交する。