京都大学 情報学研究科 通信情報システム専攻 2023年8月実施 専門基礎A [A-1]

Author

祭音Myyura (with GPT5.1)

Description

下記のすべての問に答えよ。

(1)

下記の問に答えよ。ただし

とする。

(a) 次の式が成り立つことを示せ。

(b) 次の式が成り立つことを示せ。

(2)

下記の問に答えよ。ただし，関数 は

で与えられる。

(a) 次の値を求めよ。

(b) 次の値を求めよ。

(c) 次の式が成り立つことを示せ（）。

(3)

下記の問に答えよ。ただし行列 は

で与えられる。

(a) の固有方程式を求めよ。

(b) の固有値を求めよ。

(c) の固有ベクトルをすべて求めよ。

Kai

(1)

(a)

連鎖律より

と書ける（ここで ，）。

したがって

2 つを足すと

よって

が示される。

(b)

上で求めた

をさらに について微分し、

整理すると

が得られる（極座標でのラプラシアンの標準公式）。

(2) ベータ関数

(a)

定義より

(b)

置換 （）を用いると

より

(c)

から始める。関数

を考えると

これを整理して

両辺を から まで積分すると

ここで なので は端点で になり， 。したがって

(3)

(a)

固有値を とすると固有方程式は

計算すると

したがって固有方程式は

(b)

固有方程式から

(c)

のとき を解くと，例えば

が得られる。

のとき を解くと，独立な解として

をとることができる。

したがって，固有値と対応する固有ベクトルは例えば

となる。