京都大学 情報学研究科 通信情報システム専攻 2021年8月実施 専門基礎A [A-1]

标签：

• Kyoto-University
• Differentiation
• Double-Integral
• Eigenvalues-and-Eigenvectors

Author

Miyake

Description

(1) 次の関数 $f(x)$ について以下の問に答えよ。

$$f(x) = \sqrt{1 - x^2} + \arcsin x \ \ \ (-1 \le x \le 1)$$

• ( a ) 導関数 $f'(x)$ を求めよ。
• ( b ) $f'(1)$ の値を求めよ。
• ( c ) $f(x)$ の概形を図示せよ。

(2) $y=x$ と $y=x^2$ の２つの曲線で囲まれる領域 $D$ として、次の積分 $I$ を求めよ。

$$I = \iint_D x^2 + y^2\ dxdy$$

(3) 次の行列 $A$ の固有値および固有ベクトルを求めよ。ただし $x$ 実数とする。

$$A = \begin{pmatrix} e^x & e^{-x} \\ e^{-x} & e^x \end{pmatrix}$$

Kai

(1)

( a )

$$\begin{aligned} f'(x) &= - \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} + \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \\ &= \frac{1-x}{\sqrt{1-x^2}} \\ &= \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} \end{aligned}$$

( b )

$$\begin{aligned} f'(1) = 0 \end{aligned}$$

( c )

図

(2)

$$\begin{aligned} I &= \int_0^1 dx \int_{x^2}^x dy \left( x^2 + y^2 \right) \\ &= \int_0^1 dx \left[ x^2 y + \frac{y^3}{3} \right]_{y=x^2}^x \\ &= \int_0^1 dx \left( - \frac{1}{3} x^6 - x^4 + \frac{4}{3} x^3 \right) \\ &= \left[ - \frac{1}{21} x^7 - \frac{1}{5} x^5 + \frac{1}{3} x^4 \right]_0^1 \\ &= \frac{3}{35} \end{aligned}$$

(3)

固有値

$$\begin{aligned} \lambda_1 &= e^{-x} (e^{2x} - 1) \\ \lambda_2 &= e^{-x} (e^{2x} + 1) \end{aligned}$$

固有ベクトル

$$\begin{aligned} v_1 &= (-1, 1) \\ v_2 &= (1, 1) \end{aligned}$$