京都大学 情報学研究科 通信情報システム専攻 2021年7月実施 専門基礎A [A-1]

标签：

• Kyoto-University
• Differentiation
• Double-Integral
• Eigenvalues-and-Eigenvectors

Author

Miyake, 祭音Myyura

Description

大学公表の原題

(1) 次の関数 $f(x)$ について以下の問に答えよ。

$$f(x) = \sqrt{1 - x^2} + \arcsin x \ \ \ (-1 \le x \le 1)$$

• ( a ) 導関数 $f'(x)$ を求めよ。
• ( b ) $f'(1)$ の値を求めよ。
• ( c ) $f(x)$ の概形を図示せよ。

(2) $y=x$ と $y=x^2$ の２つの曲線で囲まれる領域 $D$ として、次の積分 $I$ を求めよ。

$$I = \iint_D x^2 + y^2\ dxdy$$

(3) 次の行列 $A$ の固有値および固有ベクトルを求めよ。ただし $x$ 実数とする。

$$A = \begin{pmatrix} e^x & e^{-x} \\ e^{-x} & e^x \end{pmatrix}$$

题目描述

1. 对函数

   $$f(x)=\sqrt{1-x^2}+\arcsin x,\qquad -1\le x\le1,$$

   回答：

   1. 求导函数 $f'(x)$；
   2. 求 $f'(1)$；
   3. 画出 $f(x)$ 的大致图像。

2. 设 $D$ 为曲线 $y=x$ 与 $y=x^2$ 围成的区域，求

   $$I=\iint_D(x^2+y^2)\,dx\,dy.$$

3. 对实数 $x$，求矩阵

   $$A=\begin{pmatrix}e^x&e^{-x}\\e^{-x}&e^x\end{pmatrix}$$

   的特征值及相应特征向量。

Kai

(1)

( a )

$$\begin{aligned} f'(x) &= - \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} + \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \\ &= \frac{1-x}{\sqrt{1-x^2}} \\ &= \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} \end{aligned}$$

( b )

ここで $f'(1)$ は定義域内からの左微分を表す。$f$ は $1$ で連続なので、平均値の定理により左側差商の極限は $f'(x)$ の左極限に等しい。

$$f'(1)=\lim_{x\uparrow1}\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}=0.$$

( c )

$f(-1)=-\pi/2$, $f(0)=1$, $f(1)=\pi/2$ である。また $-1<x<1$ で

$$f'(x)>0,\qquad f''(x)=-\frac{1}{(1+x)\sqrt{1-x^2}}<0.$$

したがってグラフは全区間で単調増加かつ上に凸であり，$x=-1$ で鉛直接線，$x=1$ で水平接線をもつ。

(2)

$$\begin{aligned} I &= \int_0^1 dx \int_{x^2}^x dy \left( x^2 + y^2 \right) \\ &= \int_0^1 dx \left[ x^2 y + \frac{y^3}{3} \right]_{y=x^2}^x \\ &= \int_0^1 dx \left( - \frac{1}{3} x^6 - x^4 + \frac{4}{3} x^3 \right) \\ &= \left[ - \frac{1}{21} x^7 - \frac{1}{5} x^5 + \frac{1}{3} x^4 \right]_0^1 \\ &= \frac{3}{35} \end{aligned}$$

(3)

固有値

$$\begin{aligned} \lambda_1 &= e^{-x} (e^{2x} - 1) \\ \lambda_2 &= e^{-x} (e^{2x} + 1) \end{aligned}$$

固有ベクトル

$$\begin{aligned} v_1 &= (-1, 1) \\ v_2 &= (1, 1) \end{aligned}$$