京都大学 情報学研究科 先端数理科学専攻 2021年8月実施 基礎科目4

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Author

祭音Myyura

Description

次の積分の値を求めよ、

$$\int_{0}^{\infty} \frac{x}{1+x^3} dx$$

题目描述

求广义积分

$$\int_0^\infty\frac{x}{1+x^3}\,dx$$

的值。

考点

• 广义积分：分析无穷区间上的收敛性，并通过部分分式、变量代换或 Beta 积分计算精确值。

Kai

求める積分を

$$I=\int_{0}^{\infty}\frac{x}{1+x^{3}}dx$$

とおく。区間を分けて

$$I=\int_0^1\frac{x}{1+x^3}dx+\int_1^\infty\frac{x}{1+x^3}dx$$

とし，後半で $x=\frac{1}{t}$（$dx=-\frac{dt}{t^2}$）を用いると

$$\int_1^\infty\frac{x}{1+x^3}dx =\int_0^1\frac{1}{1+t^3}dt.$$

したがって

$$I=\int_0^1\left(\frac{x}{1+x^3}+\frac{1}{1+x^3}\right)dx =\int_0^1\frac{x+1}{1+x^3}dx.$$

ここで $1+x^3=(1+x)(1-x+x^2)$ を用いると

$$\frac{x+1}{1+x^3}=\frac{1}{1-x+x^2},$$

ゆえに

$$I=\int_0^1\frac{dx}{x^2-x+1} =\int_0^1\frac{dx}{(x-\tfrac{1}{2})^2+\tfrac{3}{4}}.$$

よって

$$I=\left[\frac{2}{\sqrt{3}}\arctan \left(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}\right)\right]_{0}^{1} =\frac{2}{\sqrt{3}}\left(\arctan\frac{1}{\sqrt{3}}-\arctan\frac{-1}{\sqrt{3}}\right) =\frac{2 \pi}{3\sqrt{3}}.$$