京都大学 情報学研究科 先端数理科学専攻 2021年8月実施 基礎科目3

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祭音Myyura (with GPT-5)

Description

次の各問に答えよ。

(1) とする. 実数列 が, 以上の任意の整数 で

を満たすとき, は収束することを示せ.

(2) とする。

で定まる数列 は収束することを示せ.

Kai

(1)

とおくと だから

さらに に対し

ゆえに はコーシー列であり，よって収束する。

(2)

は 上で単調減少。方程式

の正の解を とする。 なので ，よって

となり，

したがって全ての項が で，特に が成り立つ。

このとき

（ から ）である。 よって (1) を で適用でき， は収束する。