京都大学 情報学研究科 先端数理科学専攻 2021年8月実施 基礎科目2

Author

祭音Myyura

Description

自然数 に対して、 と はそれぞれ 行 列の単位行列と零行列を表わすものとする。また、 行 列の実行列

に対して、 のトレース を

によって与える。次の各問に答えよ。

(1) 行 列の実行列 は

を満たしているとする。この時 の固有値の取りうる値をすべて求めよ。

(2) 行 列の実行列 と に対して、 が成立することを示せ。

(3) 行 列の実行列 は

を満たしているとする。このとき の取りうる値をすべて求めよ。

Kai

(1)

の固有値を とすると、

従って、

(2)

成分計算で示す：

よって 。

(3)

(1)より の固有値は と のみ。トレースは固有値の和なので，

（上記はいずれも実現可能。例えば が条件を満たす。）