京都大学 情報学研究科 先端数理科学専攻 2021年8月実施 基礎科目2

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Author

祭音Myyura

Description

自然数 $k$ に対して、$E_k$ と $O_k$ はそれぞれ $k$ 行 $k$ 列の単位行列と零行列を表わすものとする。また、$k$ 行 $k$ 列の実行列

$$A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1k} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2k} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{k1} & a_{k2} & \cdots & a_{kk} \end{pmatrix}$$

に対して、$A$ のトレース $\text{tr}(A)$ を

$$\text{tr}(A) = \sum_{i = 1}^k a_{ii}$$

によって与える。次の各問に答えよ。

(1) $k$ 行 $k$ 列の実行列 $A$ は

$$A^2 + A - 2E_k = O_k$$

を満たしているとする。この時 $A$ の固有値の取りうる値をすべて求めよ。

(2) $k$行 $k$列の実行列 $B$と $C$に対して、 $\text{tr}(BC) = \text{tr}(CB)$ が成立することを示せ。

(3) $2$ 行 $2$ 列の実行列 $D$ は

$$D^2 + D - 2E_2 = O_2$$

を満たしているとする。このとき $\text{tr}(D)$ の取りうる値をすべて求めよ。

题目描述

对正整数 $k$，分别以 $E_k,O_k$ 表示 $k$ 阶单位矩阵与零矩阵。对实矩阵 $A=(a_{ij})\in\mathbb R^{k\times k}$，定义迹

$$\operatorname{tr}(A)=\sum_{i=1}^k a_{ii}.$$

回答：

1. 若 $A$ 满足 $A^2+A-2E_k=O_k$，求 $A$ 的特征值所有可能的取值。
2. 对任意 $k$ 阶实矩阵 $B,C$，证明 $\operatorname{tr}(BC)=\operatorname{tr}(CB)$。
3. 若二阶实矩阵 $D$ 满足 $D^2+D-2E_2=O_2$，求 $\operatorname{tr}(D)$ 所有可能的取值。

考点

• 矩阵多项式与特征值：将矩阵满足的多项式作用于特征向量，限制特征值的候选集合。
• 矩阵迹的循环性质：按矩阵元展开证明两矩阵乘积交换次序不改变迹。
• 迹与特征值：结合二阶矩阵的特征值重数及可对角化性，枚举可能的迹。

Kai

(1)

$A$ の固有値を $\lambda$ とすると、

$$A^2+A-2E_k=O_k \Rightarrow \lambda^2 + \lambda - 2 = 0$$

従って、

$$\lambda_1 = 1, \ \lambda_2 = -2$$

(2)

成分計算で示す：

$$\text{tr}(BC)=\sum_{i=1}^k (BC)_{ii} =\sum_{i=1}^k\sum_{j=1}^k b_{ij}c_{ji} =\sum_{j=1}^k\sum_{i=1}^k c_{ji}b_{ij} =\sum_{j=1}^k (CB)_{jj} =\text{tr}(CB).$$

よって $\text{tr}(BC)=\text{tr}(CB)$。

(3)

(1)より $D$ の固有値は $1$ と $-2$ のみ。トレースは固有値の和なので，

$$\text{tr}(D)\in \{1+1,(-2)+(-2),1+(-2)\}=\{2,-4,-1\}.$$

（上記はいずれも実現可能。例えば $\text{diag}(1,1),\ \text{diag}(-2,-2),\ \text{diag}(1,-2)$ が条件を満たす。）