京都大学 情報学研究科 先端数理科学専攻 2021年8月実施 基礎科目1

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• Matrix-Inverse

Author

Miyake

Description

$a$ を実数とする。$3$ 行 $3$ 列の実行列 $X$ を

$$X = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ -3 & 0 & 3 \\ -1 & 2 & a \end{pmatrix}$$

によって与える。次の各問に答えよ。

(1) $X$ 正則行列にならないような $a$ の値を求めよ。

(2) $a = 4$ のとき、$X$ の逆行列を求めよ。

题目描述

设 $a$ 为实数，并给定实矩阵

$$X=\begin{pmatrix} 1&1&2\\ -3&0&3\\ -1&2&a \end{pmatrix}.$$

1. 求使 $X$ 不可逆的所有 $a$。
2. 当 $a=4$ 时，求 $X^{-1}$。

考点

• 行列式与矩阵可逆性：计算含参数三阶矩阵的行列式，并由其为零确定奇异参数。
• 逆矩阵计算：在指定参数下用初等行变换或伴随矩阵求三阶逆矩阵。

Kai

(1)

$$\begin{aligned} \det X &= 3a-21 = 3(a-7) \end{aligned}$$

なので、 $X$ が正則にならないのは $a=7$ のときである。

(2)

$a=4$ のとき、

$$\begin{aligned} X = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ -3 & 0 & 3 \\ -1 & 2 & 4 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

である。

行基本変形あるいは余因子行列を使って計算すると、次がわかる：

$$\begin{aligned} X^{-1} = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 2 & 0 & -1 \\ -3 & -2 & 3 \\ 2 & 1 & -1 \end{pmatrix} \end{aligned}$$