京都大学情報学研究科先端数理科学専攻 2021年7月実施基礎科目3

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祭音Myyura (co-authored with GPT-5)

次の各問に答えよ。

(1) $0 < r< 1$ とする. 実数列 $\{a_n\}_{n \geq 1}$ が, $1$ 以上の任意の整数 $n$ で

|a_{n+2} - a_{n+1}| \leq r|a_{n+1} - a_n|

を満たすとき, $\{a_n\}$ は収束することを示せ.

(2) $p > 0$ とする。

x_{n+1} = p + \frac{1}{x_n} \ \ (n \geq 1), \quad x_1 = 1

で定まる数列 $\{x_n\}_{n \geq 1}$ は収束することを示せ.

回答：

设 $0<r<1$ 。若实数列 $\{a_n\}_{n\ge1}$ 对每个正整数 $n$ 满足

$|a_{n+2}-a_{n+1}|\le r|a_{n+1}-a_n|,$

证明 $\{a_n\}$ 收敛。
设 $p>0$ 。对递推数列

$x_{n+1}=p+\frac1{x_n}\quad(n\ge1),\qquad x_1=1,$

证明 $\{x_n\}_{n\ge1}$ 收敛。

$d_n:=|a_{n+1}-a_n|$ とおくと $d_{n+1}\le r d_n$ だから

d_n\le r^{n-1}d_1\ \xrightarrow[n\to\infty]{}\ 0 .

さらに $m>n$ に対し

|a_m-a_n|\le \sum_{k=n}^{m-1} d_k \le d_1\sum_{k=n}^{\infty} r^{k-1} = \frac{d_1}{1-r}r^{n-1}\xrightarrow[n\to\infty]{}0.

ゆえに ${a_n}$ はコーシー列であり，よって収束する。

$f(x):=p+\frac1x$ は $(0,\infty)$ 上で単調減少。方程式

x=f(x)\iff x^2-px-1=0

の正の解を $\alpha=\frac{p+\sqrt{p^2+4}}2>1$ とする。 $x_1=1<\alpha$ なので $x_2=f(1)=p+1>\alpha$ であり， $f$ の単調減少性から

x_1<\alpha<x_2,\qquad x_3=f(x_2)<f(\alpha)=\alpha,\qquad x_4=f(x_3)>\alpha, \ldots

となる。さらに $\beta=\frac{p-\sqrt{p^2+4}}2<0$ とし， $g=f\circ f$ とおくと

g(x)-x =\frac{p(\alpha-x)(x-\beta)}{px+1}.

よって $0<x<\alpha$ では $g(x)>x$ ， $x>\alpha$ では $g(x)<x$ であるから

x_1<x_3<x_5<\cdots<\alpha,\qquad x_2>x_4>x_6>\cdots>\alpha.

したがって全ての項が $\ge1$ で，特に $x_n\ge1$ が成り立つ。

このとき

|x_{n+2}-x_{n+1}|=\Bigl|\frac1{x_{n+1}}-\frac1{x_n}\Bigr| =\frac{|x_{n+1}-x_n|}{x_nx_{n+1}} \le \frac{|x_{n+1}-x_n|}{1+p} ,

（ $x_n\ge 1$ から $x_nx_{n+1}\ge x_n(1/x_n+p)=1+px_n\ge1+p$ ）である。よって (1) を $r=\frac1{1+p},(<1)$ で適用でき， ${x_n}$ は収束する。