京都大学情報学研究科先端数理科学専攻 2021年7月実施基礎科目1

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$a$ を実数とする。 $3$ 行 $3$ 列の実行列 $X$ を

X = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ -3 & 0 & 3 \\ -1 & 2 & a \end{pmatrix}

によって与える。次の各問に答えよ。

(1) $X$ 正則行列にならないような $a$ の値を求めよ。

(2) $a = 4$ のとき、 $X$ の逆行列を求めよ。

设 $a$ 为实数，并给定实矩阵

X=\begin{pmatrix} 1&1&2\\ -3&0&3\\ -1&2&a \end{pmatrix}.

\begin{aligned} \det X &= 3a-21 = 3(a-7) \end{aligned}

なので、 $X$ が正則にならないのは $a=7$ のときである。

$a=4$ のとき、

\begin{aligned} X = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ -3 & 0 & 3 \\ -1 & 2 & 4 \end{pmatrix} \end{aligned}

である。

行基本変形あるいは余因子行列を使って計算すると、次がわかる：

\begin{aligned} X^{-1} = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 2 & 0 & -1 \\ -3 & -2 & 3 \\ 2 & 1 & -1 \end{pmatrix} \end{aligned}