京都大学 情報学研究科 数理工学専攻 2023年8月実施 線形代数

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Author

思齐塾, 祭音Myyura

Description

次で与えられる3次正方行列 $A$ について考える.

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & 2 \end{pmatrix}$$

以下の問いに答えよ.

(i) 行列 $A$ の行列式を求めよ.

(ii) 行列 $A$ の固有値をすべて求め、各固有値に対する固有ベクトルを求めよ.

(iii) $B = P^{-1}AP$ となるような正則行列 $P$ と対角行列 $B$ を求めよ.

(iv) $x, y, z$ に関する連立一次方程式

$$\begin{cases} x + 2y - z = 2 \\ 2x + y + z = 1 \\ x + z = 0 \end{cases}$$

を解け.

题目描述

考虑矩阵

$$A= \begin{pmatrix} 1&2&-1\\ 2&1&1\\ 2&0&2 \end{pmatrix}.$$

回答：

1. 求 $\det A$。
2. 求 $A$ 的全部特征值，并对每个特征值求相应特征向量。
3. 求一个可逆矩阵 $P$ 和一个对角矩阵 $B$，使

$$B=P^{-1}AP.$$

4. 解关于 $x,y,z$ 的线性方程组

$$\begin{cases} x+2y-z=2,\\ 2x+y+z=1,\\ x+z=0. \end{cases}$$

Kai

(i) 行列式

第 $1$ 行で展開すると、

$$\begin{aligned} \det A &= \begin{vmatrix}1&1\\0&2\end{vmatrix} -2\begin{vmatrix}2&1\\2&2\end{vmatrix} -\begin{vmatrix}2&1\\2&0\end{vmatrix}\\ &=2-2(2)-(-2)=0. \end{aligned}$$

(ii) 固有値と固有ベクトル

特性多項式は

$$\det(A-\lambda I) =-\lambda(\lambda-1)(\lambda-3).$$

したがって固有値は $0,1,3$ である。それぞれの固有空間は

$$\ker A =\operatorname{Span} \left\{ \begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix} \right\},$$

$$\ker(A-I) =\operatorname{Span} \left\{ \begin{pmatrix}-1\\1\\2\end{pmatrix} \right\},$$

$$\ker(A-3I) =\operatorname{Span} \left\{ \begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix} \right\}.$$

(iii) 対角化

上の固有ベクトルを列に並べて

$$P= \begin{pmatrix} -1&-1&1\\ 1&1&2\\ 1&2&2 \end{pmatrix}$$

とおく。 $\det P=3\neq0$ なので $P$ は正則であり、

$$B=P^{-1}AP = \begin{pmatrix} 0&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&3 \end{pmatrix}.$$

(iv) 連立一次方程式

第 $3$ 式から $z=-x$ である。これを第 $1,2$ 式に代入すると、いずれも

$$x+y=1$$

となる。したがって $t\in\mathbb R$ を用いて、

$$\boxed{ \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}t\\1-t\\-t\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix} +t\begin{pmatrix}1\\-1\\-1\end{pmatrix} }$$

と表せる。