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京都大学 情報学研究科 数理工学専攻 2022年8月実施 基礎数学 I

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Author​

思齐塾, 祭音Myyura

Description​

大学公表の原題

以下の各命題について，正しければ証明し，正しくなければ理由とともに反例をあげよ.

(i) 数列 {an}\{a_n\} について， ∑n=1∞an\sum_{n=1}^{\infty} a_n が収束すれば lim⁡n→∞an=0\lim_{n \to \infty} a_n = 0 が成り立つ．

(ii) 数列 {an}\{a_n\} について， lim⁡n→∞an=0\lim_{n \to \infty} a_n = 0 ならば ∑n=1∞an\sum_{n=1}^{\infty} a_n は収束する．

(iii) R\mathbb{R} 上の広義単調増加な C1C^1 級関数 f(x)f(x) について， lim⁡x→∞dfdx(x)=0\lim_{x \to \infty} \frac{df}{dx}(x) = 0 ならば lim⁡x→∞f(x)\lim_{x \to \infty} f(x) は収束する．

(iv) R\mathbb{R} 上の広義単調増加な C1C^1 級関数 f(x)f(x) について， lim⁡x→∞f(x)\lim_{x \to \infty} f(x) が収束すれば lim⁡x→∞dfdx(x)=0\lim_{x \to \infty} \frac{df}{dx}(x) = 0 である．

题目描述​

判断下列每个命题。若命题正确，请证明；若不正确，请说明理由并给出反例。

  1. 对数列 {an}\{a_n\}，若级数
∑n=1∞an\sum_{n=1}^{\infty}a_n

收敛，则

lim⁡n→∞an=0.\lim_{n\to\infty}a_n=0.
  1. 对数列 {an}\{a_n\}，若
lim⁡n→∞an=0,\lim_{n\to\infty}a_n=0,

则级数

∑n=1∞an\sum_{n=1}^{\infty}a_n

收敛。

  1. 对定义在 R\mathbb{R} 上、单调不减的 C1C^1 函数 ff，若
lim⁡x→∞f′(x)=0,\lim_{x\to\infty}f'(x)=0,

则 lim⁡x→∞f(x)\lim_{x\to\infty}f(x) 收敛于有限值。

  1. 对定义在 R\mathbb{R} 上、单调不减的 C1C^1 函数 ff，若 lim⁡x→∞f(x)\lim_{x\to\infty}f(x) 收敛于有限值，则
lim⁡x→∞f′(x)=0.\lim_{x\to\infty}f'(x)=0.

Kai​

(i) 正しい​

部分和を

SN=∑n=1NanS_N=\sum_{n=1}^{N}a_n

とおく。級数が収束するなら、ある実数 SS に対して SN→SS_N\to S である。 n≥2n\geq 2 では an=Sn−Sn−1a_n=S_n-S_{n-1} なので、

lim⁡n→∞an=lim⁡n→∞Sn−lim⁡n→∞Sn−1=S−S=0.\lim_{n\to\infty}a_n =\lim_{n\to\infty}S_n-\lim_{n\to\infty}S_{n-1} =S-S =0.

(ii) 正しくない​

反例として an=1/na_n=1/n をとる。このとき

lim⁡n→∞an=0\lim_{n\to\infty}a_n=0

だが、調和級数

∑n=1∞1n\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}

は発散する。

(iii) 正しくない​

実数全体で定義された反例として

f(x)=arsinh⁡x=log⁡(x+1+x2)f(x)=\operatorname{arsinh}x =\log\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)

をとる。この関数は R\mathbb{R} 上で C1C^1 級かつ狭義単調増加であり、

f′(x)=11+x2⟶0(x→∞)f'(x)=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}} \longrightarrow 0 \qquad (x\to\infty)

を満たす。しかし

f(x)⟶∞(x→∞)f(x)\longrightarrow\infty \qquad (x\to\infty)

であるから、 f(x)f(x) は有限値に収束しない。

(iv) 正しくない​

連続な三角形状の関数

ψ(u)=max⁡(1−∣u∣,0)\psi(u)=\max(1-|u|,0)

を使い、

g(x)=∑m=1∞ψ(2m+2(x−m))g(x)=\sum_{m=1}^{\infty} \psi\left(2^{m+2}(x-m)\right)

と定める。各項の台は互いに交わらないので、この和は各点の近傍で有限和となり、 gg は R\mathbb{R} 上の連続な非負関数である。また、

g(m)=1(m=1,2,…).g(m)=1 \qquad (m=1,2,\ldots).

ここで

f(x)=∫0xg(t) dtf(x)=\int_0^x g(t)\,dt

とおく。すると ff は R\mathbb{R} 上で C1C^1 級かつ広義単調増加であり、 f′(x)=g(x)f'(x)=g(x) である。各三角形の面積は 2−m−22^{-m-2} なので、

lim⁡x→∞f(x)=∫0∞g(t) dt=∑m=1∞2−m−2=14.\lim_{x\to\infty}f(x) =\int_0^\infty g(t)\,dt =\sum_{m=1}^{\infty}2^{-m-2} =\frac{1}{4}.

一方、 f′(m)=g(m)=1f'(m)=g(m)=1 がすべての正の整数 mm で成り立つので、 f′(x)f'(x) は 00 に収束しない。これは題意を満たす反例である。

以上より、(i) のみが正しく、(ii)、(iii)、(iv) は正しくない。

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