京都大学情報学研究科数理工学専攻 2021年8月実施力学系数学

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Casablanca

をのある有理式として次の実微分方程式を考える．

以下の問いに答えよ．

(i) をある整数として，が式 (1) の解であるためのに関する必要十分条件を求めよ．

以下では，ある整数に対して (i) で求めた条件が成り立つものとし，をと線形独立な解として，

とおく．

(ii) をを用いて表わせ．

(iii) のときを定めよ．

(iv) 式 (1) のすべての解が定数でない多項式のとき，は多項式でないことを示せ．

If , then $a(t) = tb(t) = 0.

If , then .

Easy to see is neccessary and sufficient.

Let ,

\Phi''(t) = t^ku''(t) + 2kt^{k-1}u'(t) + k(k-1)t^{k-2}u(t)

p(t) = t^{k-1}u'(t), p'(t) = (k-1)t^{k-2}u'(t) + t^{k-1}u''(t)

t u''(t) + (2k + a(t)t)u'(t) = 0

a(t) = -\frac{u''(t)}{u'(t)} - \frac{2k}{t} = -\frac{(3k-1)p'(t)}{tp(t)}

b(t) = \frac{2k^2}{t^2} - \frac{kp'(t)}{tp(t)}

You can't use 'macro parameter character #' in math mode ### (iii)

a(t) = -\frac{1}{t}, b(t) = \frac{1}{t^2}

You can't use 'macro parameter character #' in math mode ### (iv) Let $x_1$, $x_2$ be 2 independent particular solutions, then

x_1'' = -a(t)x_1' - b(t)x_1 , x_2'' = -a(t)x_2' - b(t)x_2

\begin{aligned} (x_1'x_2 - x_1 x_2')' &= x_1''x_2 - x_1 x_2''\ &= -a(t)x_1'x_2 + a(t)x_1x_2'\ &= -a(t)(x_1'x_2 - x_1 x_2') \end{aligned}

x_1'x_2 - x_1x_2' = C e^{\int a(t)dt}

\frac{d^2x}{dt^2} + b(t)x = 0