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京都大学 情報学研究科 数理工学専攻 2022年度 基礎科目 問題5（基礎力学）

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祭音Myyura (Based on Miyake's answer refined with GPT 6 Astra)

Description​

質量 MM、半径 RSR_S の密度一様な球 A の中心から r (≥RS)r\ (\ge R_S) の距離にある質量 mm の質点の運動を考える。万有引力定数を GG とする。以下の問いに答えよ。

(i) r≥RSr\ge R_S のときの球 A によって生じる万有引力のポテンシャルを計算せよ。

(ii) 質点が球 A の表面上から速さ VEV_E で脱出可能（無限遠点 r=∞r=\infty に到達可能）とする。速さ VEV_E の最小値を求めよ。

(iii) (ii) の速度 VEV_E が光の速度 cc で与えられるとする。そのときの球 A の半径 RSR_S を c,Mc,M を用いて求めよ。

题目描述​

考虑质量为 mm 的质点在一个质量为 MM、半径为 RSR_S 的均匀球 A 外运动。质点到球心的距离为 r≥RSr\ge R_S，万有引力常数为 GG。

(i) 求球 A 在 r≥RSr\ge R_S 处产生的引力势。

(ii) 质点从球面以速率 VEV_E 出发，能够逃逸至无穷远。求 VEV_E 的最小值。

(iii) 若 (ii) 中的最小逃逸速率等于光速 cc，用 c,Mc,M 表示球的半径 RSR_S。

Kai​

(i)​

無限遠をポテンシャルの基準とする。球対称性と万有引力のガウスの法則より、球外の重力加速度は

g(r)=−GMr2er.\boldsymbol g(r)=-\frac{GM}{r^2}\boldsymbol e_r.

したがって、単位質量当たりのポテンシャル Φ\Phi は

Φ(r)=−∫∞rg(s)⋅er ds=−GMr(r≥RS).\Phi(r)=-\int_\infty^r\boldsymbol g(s)\cdot\boldsymbol e_r\,ds =\boxed{-\frac{GM}{r}}\qquad(r\ge R_S).

質点のポテンシャルエネルギーは U(r)=mΦ(r)=−GMm/rU(r)=m\Phi(r)=-GMm/r である。

(ii)​

無限遠での速さを v∞v_\infty とすると、エネルギー保存則から

12mVE2−GMmRS=12mv∞2≥0.\frac12mV_E^2-\frac{GMm}{R_S} =\frac12mv_\infty^2\ge0.

よって必要条件は VE2≥2GM/RSV_E^2\ge2GM/R_S であり、外向きに出発すれば等号の場合にも無限遠へ脱出できる。最小逃逸速度は

VE,min⁡=2GMRS.\boxed{V_{E,\min}=\sqrt{\frac{2GM}{R_S}}}.

(iii)​

VE,min⁡=cV_{E,\min}=c を代入して

c2=2GMRS,RS=2GMc2.c^2=\frac{2GM}{R_S},\qquad \boxed{R_S=\frac{2GM}{c^2}}.

Reference​

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