京都大学 情報学研究科 数理工学専攻 2021年8月実施 基礎数学 II

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• Matrix-Determinant

Author

思齐塾, 祭音Myyura

Description

Aを次に定める $n \times n$ 行列とする。

$$A = \begin{pmatrix} -a_1 & -a_2 & \cdots & -a_{n-2} & -a_{n-1} & -a_n \\ 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$

また、 $p(x)$ を次に定める $x$ の多項式とする。

$$p(x) = \det(xI_n - A)$$

ここで、 $I_n$ は $n$ 次単位行列を表す。 $k = 1, 2, \dots, n-1$ に対して、 $n \times n$ 行列 $A_k$ をブロック対角行列

$$A_k = \begin{pmatrix} I_{k-1} & 0_{k-1,2} & 0_{k-1,n-k-1} \\ 0_{2,k-1} & C_k & 0_{2,n-k-1} \\ 0_{n-k-1,k-1} & 0_{n-k-1,2} & I_{n-k-1} \end{pmatrix}$$

とする。ただし、 $0_{\ell, m}$ は $\ell \times m$ 零行列、 $C_k$ は $2 \times 2$ 行列

$$C_k = \begin{pmatrix} -a_k & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$

を表す。 $n \times n$ 行列 $A_n$ を対角行列 $A_n = \text{diag}(1, \dots, 1, -a_n)$ とする。以下の問いに答えよ。

(i) 多項式 $p(x)$ を、定数 $a$ と非負整数 $r$ による $ax^r$ の形の項の和によって表わせ。

(ii) $A = A_1 A_2 \dots A_{n-1} A_n$ が成り立つことを示せ。

(iii) $|j - k| > 1$ において、 $A_k A_j = A_j A_k$ が成り立つことを示せ。

(iv) $n$ を奇数とする。このとき、

$$p(x) = \det(xI_n - A_1 A_3 \dots A_n A_2 A_4 \dots A_{n-1})$$

が成り立つことを示せ。

(v) $n$ を奇数とする。 $p(x) = 0$ の根は、 $n \times n$ の対称三重対角行列で定まる方程式

$$\det \begin{pmatrix} a_1 + x & -1 & & & \\ -1 & 0 & x & & \\ & x & a_3 + a_2x & -1 & \\ & & -1 & 0 & \ddots \\ & & & \ddots & & x \\ & & & & x & a_n + a_{n-1}x \end{pmatrix} = 0$$

の根と一致することを示せ。

题目描述

定义 $n\times n$ 矩阵

$$A= \begin{pmatrix} -a_1&-a_2&\cdots&-a_{n-2}&-a_{n-1}&-a_n\\ 1&0&\cdots&0&0&0\\ 0&1&\cdots&0&0&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\vdots\\ 0&0&\cdots&1&0&0\\ 0&0&\cdots&0&1&0 \end{pmatrix}$$

及多项式

$$p(x)=\det(xI_n-A),$$

其中 $I_n$ 是 $n$ 阶单位矩阵。

对 $k=1,2,\ldots,n-1$，定义块对角矩阵

$$A_k= \begin{pmatrix} I_{k-1}&0_{k-1,2}&0_{k-1,n-k-1}\\ 0_{2,k-1}&C_k&0_{2,n-k-1}\\ 0_{n-k-1,k-1}&0_{n-k-1,2}&I_{n-k-1} \end{pmatrix},$$

其中 $0_{\ell,m}$ 表示 $\ell\times m$ 零矩阵，且

$$C_k= \begin{pmatrix} -a_k&1\\ 1&0 \end{pmatrix}.$$

再定义对角矩阵

$$A_n=\operatorname{diag}(1,\ldots,1,-a_n).$$

回答：

1. 把 $p(x)$ 明确写成若干形如 $ax^r$ 的项之和，其中 $a$ 为常数、$r$ 为非负整数。
2. 证明

$$A=A_1A_2\cdots A_{n-1}A_n.$$

3. 证明当 $|j-k|>1$ 时，

$$A_kA_j=A_jA_k.$$

4. 设 $n$ 为奇数。证明

$$p(x) = \det\!\left( xI_n- A_1A_3\cdots A_n A_2A_4\cdots A_{n-1} \right).$$

5. 设 $n$ 为奇数。证明 $p(x)=0$ 的根与下列对称三对角矩阵方程的根一致：

$$\det \begin{pmatrix} a_1+x&-1&&&&\\ -1&0&x&&&\\ &x&a_3+a_2x&-1&&\\ &&-1&0&\ddots&\\ &&&\ddots&\ddots&x\\ &&&&x&a_n+a_{n-1}x \end{pmatrix} =0.$$

Kai

(i) 特性多項式

第 $n$ 列について展開する漸化式、または帰納法により、

$$\boxed{ p(x)=x^n+a_1x^{n-1}+a_2x^{n-2}+\cdots+a_{n-1}x+a_n }$$

を得る。実際、 $xI_n-A$ の最下行までの下三角部分には $-1$ が並ぶため、第 $n$ 列の第 $1$ 成分 $a_n$ の余因子は $1$ となり、残る項は $x$ 倍の同型の行列式になる。

(ii) $A$ の積表示

$A_k$ は座標 $k,k+1$ のみに

$$C_k= \begin{pmatrix} -a_k&1\\ 1&0 \end{pmatrix}$$

として作用し、それ以外の座標では恒等写像である。右端の $A_n$ から順に掛けると、各段階で新しい係数 $-a_k$ が先頭行側へ入り、同時に $1$ が一段下へ移る。標準基底への作用を列ごとに比較すれば、

$$A_1A_2\cdots A_{n-1}A_n = \begin{pmatrix} -a_1&-a_2&\cdots&-a_n\\ 1&0&\cdots&0\\ &\ddots&\ddots&\vdots\\ 0&&1&0 \end{pmatrix} =A.$$

(iii) 離れた因子の可換性

$A_k$ が単位行列と異なる行・列の添字は $\{k,k+1\}$ だけである。 $|j-k|>1$ なら

$$\{k,k+1\}\cap\{j,j+1\}=\varnothing$$

だから、二つの行列は互いに異なる座標ブロックに作用する。したがって

$$A_kA_j=A_jA_k.$$

(iv) 因子の並べ替え

同じサイズの正方行列 $X,Y$ について

$$\det(xI-XY)=\det(xI-YX)$$

が成り立つ。したがって、積の因子を巡回移動しても特性行列式は変わらない。また (iii) により、添字が隣り合わない因子は交換できる。

$n$ が奇数のとき、これら二種類の操作を繰り返すと、積の語

$$A_1A_2\cdots A_n$$

を、特性行列式を変えずに奇数添字、偶数添字の順へ移せる。よって

$$p(x) =\det\left( xI_n-A_1A_3\cdots A_nA_2A_4\cdots A_{n-1} \right).$$

ここで行列積そのものが元の $A$ と等しいとは限らず、等しいのは上の特性行列式である。

(v) 対称三重対角行列

$n=2m+1$ とし、

$$O=A_1A_3\cdots A_n, \qquad E=A_2A_4\cdots A_{n-1}$$

とおく。(iv) から $p(x)=\det(xI_n-OE)$ である。

偶数添字の各ブロックは

$$C_{2j}^{-1} = \begin{pmatrix} 0&1\\ 1&a_{2j} \end{pmatrix}, \qquad \det C_{2j}=-1$$

を満たす。したがって $E$ は正則で、

$$\det E=(-1)^m.$$

ここで

$$xI_n-OE=(xE^{-1}-O)E$$

である。 $M(x)=xE^{-1}-O$ を書き下すと、ちょうど題示の対称三重対角行列

$$M(x)= \begin{pmatrix} a_1+x&-1&&&&\\ -1&0&x&&&\\ &x&a_3+a_2x&-1&&\\ &&-1&0&\ddots&\\ &&&\ddots&\ddots&x\\ &&&&x&a_n+a_{n-1}x \end{pmatrix}$$

になる。ゆえに

$$p(x) =\det M(x)\det E =(-1)^m\det M(x).$$

両辺は非零定数倍だけ異なるので、

$$p(x)=0 \quad\Longleftrightarrow\quad \det M(x)=0.$$

したがって二つの方程式の根は重複度も含めて一致する。