京都大学情報学研究科数理工学専攻 2021年8月実施基礎数学 I

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思齐塾, 祭音Myyura

開区間 $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ 上の関数 $y = \tan x$ の逆関数を $y = \arctan x$ と書く. $f(x) = \arctan x$ は $\mathbb{R}$ 上の実解析的関数である. 以下の問いに答えよ.

(i) 自然数 $n \geq 1$ に対して,

(1+x^2)f^{(n+2)}(x) + 2(n+1)xf^{(n+1)}(x) + n(n+1)f^{(n)}(x) = 0

が成り立つことを示せ. ただし, $f^{(n)}(x)$ は $f(x)$ の $n$ 階導関数である.

(ii) $f(x)$ の $x=0$ を中心としたテイラー展開を求めよ.

(iii) (ii) で求めたテイラー展開の収束半径を求めよ.

(iv) 次式を示せ.

\pi = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{4(-1)^{n-1}}{2n-1}

把 $y=\tan x$ 在开区间 $(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$ 上的反函数记为

y=\arctan x.

令 $f(x)=\arctan x$ ； $f$ 是 $\mathbb{R}$ 上的实解析函数。回答：

(1+x^2)f^{(n+2)}(x) +2(n+1)xf^{(n+1)}(x) +n(n+1)f^{(n)}(x) =0,

其中 $f^{(n)}$ 表示 $f$ 的 $n$ 阶导数。 2. 求 $f(x)$ 在 $x=0$ 处的 Taylor 展开。 3. 求上一小问 Taylor 级数的收敛半径。 4. 证明 Gregory–Leibniz 公式

\pi = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{4(-1)^{n-1}}{2n-1}.

$f'(x)=1/(1+x^2)$ なので、

(1+x^2)f'(x)=1.

両辺を $n+1$ 回微分する。ライプニッツの公式を適用すると、 $1+x^2$ の第 3 階以上の導関数は $0$ であるから、

\begin{aligned} 0 &=\frac{d^{n+1}}{dx^{n+1}}\left((1+x^2)f'(x)\right)\\ &=(1+x^2)f^{(n+2)}(x) +2(n+1)xf^{(n+1)}(x)\\ &\quad+n(n+1)f^{(n)}(x). \end{aligned}

これが求める関係式である。

(i) の式に $x=0$ を代入すると

f^{(n+2)}(0)=-n(n+1)f^{(n)}(0).

$f(0)=0$ および $f'(0)=1$ から、帰納法により

\begin{aligned} f^{(2m)}(0)&=0,\\ f^{(2m-1)}(0)&=(-1)^{m-1}(2m-2)! \end{aligned} \qquad (m\geq 1)

を得る。したがって、 $x=0$ におけるテイラー展開は

\arctan x =\sum_{m=1}^{\infty} \frac{(-1)^{m-1}}{2m-1}x^{2m-1} =x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\cdots.

隣接する非零項の絶対値の比は

\left| \frac{x^{2m+1}/(2m+1)}{x^{2m-1}/(2m-1)} \right| =|x|^2\frac{2m-1}{2m+1} \longrightarrow |x|^2.

よって $|x|<1$ で収束し、 $|x|>1$ で発散する。収束半径は

R=1

である。

(ii) のべき級数は $x=1$ で交代級数として収束する。アーベルの定理を用いると、

\arctan 1 =\sum_{m=1}^{\infty}\frac{(-1)^{m-1}}{2m-1}.

$\arctan 1=\pi/4$ であるから、両辺を $4$ 倍して

\pi =\sum_{m=1}^{\infty} \frac{4(-1)^{m-1}}{2m-1}

を得る。