京都大学 情報学研究科 数理工学専攻 2020年8月実施 力学系数学

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Casablanca

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日本語版

を整数， を 級関数として， 上の微分方程式系

を考える。 を 上で有界な式 (1) の非定数解とする。 次式を式 (1) の解 のまわりの変分方程式という：

ここで， は のヤコビ行列で，各 に対して， と をそれぞれ， と の第 成分として，

で与えられる 次正方行列である。以下の問いに答えよ。

(i) 極限 と が存在するとき， と が式 (1) の定数解であることを示せ。また，変分方程式 (2) が かつ 上で有界な解 をもつことを示せ。

(ii) 次式を満たす 級関数 が存在するものとする。

2 個のベクトル と が線形独立であるとき，変分方程式 (2) の線形独立な解を2個求めよ。

(iii) 次式を満たす 個の 級関数 が存在するものとする。

個のベクトル と が線形独立であるとき，変分方程式 (2) の一般解を求めよ。

English Version

Kai

(i)

Since is a solution, we have

From and continuity, we have

suppose that

then we have

which is conflict with

and therefore . Thus is a constant solution. Similarly, is a constant solution,too.

Notice that

hence

and we konw

since , is bounded, then is bounded

(ii)

is a solution, then

and we see that is a solution to (2) and we have

thus, , are independent , are independent.

(iii)

Similar to , omitted