京都大学 情報学研究科 数理工学専攻 2020年8月実施 力学系数学

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Author

Casablanca, 祭音Myyura

Description

日本語版

$n > 1$ を整数，$f : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n$ を $C^1$ 級関数として，$\mathbb{R}$ 上の微分方程式系

$$\begin{align} \frac{dx}{dt} = f(x), \quad x \in \mathbb{R}^n \tag{1} \end{align}$$

を考える。$x = \phi(t)$ を $\mathbb{R}$ 上で有界な式 (1) の非定数解とする。 次式を式 (1) の解 $x = \phi(t)$ のまわりの変分方程式という：

$$\frac{dy}{dt} = Df(\phi(t))y, \quad y \in \mathbb{R}^n \tag{2}$$

ここで，$Df(x)$ は $f(x)$ のヤコビ行列で，各 $j = 1, 2, \ldots, n$ に対して，$f_j(x)$ と $x_j$ をそれぞれ，$f(x)$ と $x$ の第 $j$ 成分として，

$$Df(x) = \begin{pmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1}(x) & \dots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n}(x) \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial f_n}{\partial x_1}(x) & \dots & \frac{\partial f_n}{\partial x_n}(x) \end{pmatrix}$$

で与えられる $n$ 次正方行列である。以下の問いに答えよ。

(i) 極限 $a_+ = \lim_{t \to +\infty} \phi(t)$ と $a_- = \lim_{t \to -\infty} \phi(t)$ が存在するとき，$x = a_+$ と $a_-$ が式 (1) の定数解であることを示せ。また，変分方程式 (2) が $\lim_{t \to \pm \infty} \psi(t) = 0$ かつ $\mathbb{R}$ 上で有界な解 $y = \psi(t)$ をもつことを示せ。

(ii) 次式を満たす $C^1$ 級関数 $u : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n$ が存在するものとする。

$$Du(x)f(x) - Df(x)u(x) = 0$$

2 個のベクトル $f(\phi(0))$ と $u(\phi(0))$ が線形独立であるとき，変分方程式 (2) の線形独立な解を2個求めよ。

(iii) 次式を満たす $n - 1$ 個の $C^1$ 級関数 $v_j : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n \ (j = 1, 2, \ldots, n - 1)$ が存在するものとする。

$$Dv_j(x)f(x) - Df(x)v_j(x) = 0 \quad (j = 1, 2, \ldots, n - 1)$$

$n$ 個のベクトル $f(\phi(0))$ と $v_j(\phi(0)) \ (j = 1, 2, \ldots, n - 1)$ が線形独立であるとき，変分方程式 (2) の一般解を求めよ。

English Version

题目描述

设整数 $n>1$，$f:\mathbb R^n\to\mathbb R^n$ 为 $C^1$ 函数，考虑自治系统

$$\frac{d\boldsymbol x}{dt}=f(\boldsymbol x), \qquad \boldsymbol x\in\mathbb R^n. \tag{1}$$

令 $\boldsymbol x=\phi(t)$ 为定义在 $\mathbb R$ 上、有界且非常值的解。其沿轨道的变分方程为

$$\frac{d\boldsymbol y}{dt}=Df(\phi(t))\boldsymbol y, \qquad \boldsymbol y\in\mathbb R^n, \tag{2}$$

其中 $Df$ 是 $f$ 的 Jacobian 矩阵。回答：

1. 若极限 $a_+=\lim_{t\to+\infty}\phi(t)$ 与 $a_-=\lim_{t\to-\infty}\phi(t)$ 存在，证明 $\boldsymbol x=a_+$ 和 $\boldsymbol x=a_-$ 都是 (1) 的常值解；并证明 (2) 存在一个在 $\mathbb R$ 上有界且满足 $\lim_{t\to\pm\infty}\psi(t)=0$ 的解 $\boldsymbol y=\psi(t)$。

2. 假设存在 $C^1$ 函数 $u:\mathbb R^n\to\mathbb R^n$ 满足

   $$Du(\boldsymbol x)f(\boldsymbol x) -Df(\boldsymbol x)u(\boldsymbol x)=0.$$

   若 $f(\phi(0))$ 与 $u(\phi(0))$ 线性无关，求变分方程 (2) 的两个线性无关解。

3. 假设存在 $n-1$ 个 $C^1$ 函数 $v_j:\mathbb R^n\to\mathbb R^n$ 满足

   $$Dv_j(\boldsymbol x)f(\boldsymbol x) -Df(\boldsymbol x)v_j(\boldsymbol x)=0 \quad(j=1,\ldots,n-1),$$

   且 $f(\phi(0)),v_1(\phi(0)),\ldots,v_{n-1}(\phi(0))$ 线性无关。求 (2) 的一般解。

Kai

(i)

Since $\phi(t)$ is a solution, we have

$$\frac{d\phi(t)}{dt}=f(\phi(t)).$$

From $\lim_{t\to+\infty}\phi(t)=a_+$ and continuity, we have

$$\lim_{t\to+\infty}\frac{d\phi(t)}{dt}=f(a_+).$$

If $L=f(a_+)\ne0$, put $q=L/\lVert L\rVert$. For all sufficiently large $t$,

$$q^\top\phi'(t)>\frac{\lVert L\rVert}{2}.$$

Integrating this inequality contradicts the convergence of $q^\top\phi(t)$. Hence $f(a_+)=0$, so $x=a_+$ is a constant solution. The same argument at $-\infty$ gives $f(a_-)=0$, so $x=a_-$ is also a constant solution.

Notice that

$$\frac{d}{dt}f(\phi(t)) =Df(\phi(t))\frac{d\phi(t)}{dt}.$$

Set

$$\psi(t)=\phi'(t)=f(\phi(t)).$$

Then

$$\psi'(t)=Df(\phi(t))\psi(t),\qquad \lim_{t\to\pm\infty}\psi(t)=f(a_\pm)=0.$$

Since $\phi(\mathbb R)$ is bounded, its closure is compact; continuity of $f$ therefore implies that $\psi(t)=f(\phi(t))$ is bounded on $\mathbb R$. Since $\phi$ is nonconstant, $\psi$ is not identically zero.

(ii)

The two solutions are

$$y_1(t)=f(\phi(t)),\qquad y_2(t)=u(\phi(t)).$$

Indeed,

$$y_1'=Df(\phi)y_1,\qquad y_2'=Du(\phi)f(\phi)=Df(\phi)u(\phi)=Df(\phi)y_2.$$

They are linearly independent because their values at $t=0$ are linearly independent.

(iii)

By the same calculation, $f(\phi(t))$ and $v_j(\phi(t))$ $(j=1,\ldots,n-1)$ are solutions. Their values at $t=0$ form a basis of $\mathbb R^n$, hence the general solution is

$$y(t)=c_0f(\phi(t))+\sum_{j=1}^{n-1}c_jv_j(\phi(t)), \qquad c_0,c_1,\ldots,c_{n-1}\in\mathbb R.$$