京都大学 情報学研究科 数理工学専攻 2020年8月実施 基礎数学 II

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Author

思齐塾, 祭音Myyura

Description

A を零行列 $O$ ではない $n \times n$ 実行列 $(A \neq O)$ とし、 $\operatorname{rank} A$ を $A$ のランク (階数) とし、 $r = \operatorname{rank} A$ とおく。以下の問いに答えよ。ただし、同次連立1次方程式 $A \mathbf{x} = 0$ は $n-r$ 個の1次独立な解 $\mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2, \dots, \mathbf{x}_{n-r}$ をもち、 $n-r$ 個を超える数の1次独立な解をもたないことは証明なしで使ってよい。

(i) $n \times n$ 実行列 $B$ が $A B = O$ を満たすとする。このとき

$$\operatorname{rank} A + \operatorname{rank} B \leq n$$

を示せ。

(ii) 行列 $A$ に対して、 $A B = O$ かつ

$$\operatorname{rank} A + \operatorname{rank} B = n$$

なる $n \times n$ 実行列 $B$ が存在することを示せ。

(iii) $n \times n$ 実行列 $B$ に対して

$$\operatorname{rank}(A + B) \leq \operatorname{rank} A + \operatorname{rank} B$$

を示せ。

(iv) $n \times n$ 実行列 $B$ に対して

$$\operatorname{rank} A + \operatorname{rank} B \leq \operatorname{rank} AB + n$$

を示せ。

题目描述

设 $A\ne O$ 是 $n\times n$ 实矩阵，$O$ 表示零矩阵，并记

$$r=\operatorname{rank}A.$$

可以不加证明地使用以下事实：齐次线性方程组

$$A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$$

有 $n-r$ 个线性无关解 $\boldsymbol{x}_1,\ldots,\boldsymbol{x}_{n-r}$，且不可能有超过 $n-r$ 个线性无关解。回答：

1. 若 $n\times n$ 实矩阵 $B$ 满足 $AB=O$，证明

$$\operatorname{rank}A+\operatorname{rank}B\leq n.$$

2. 对给定的 $A$，证明存在 $n\times n$ 实矩阵 $B$，同时满足

$$AB=O$$

和

$$\operatorname{rank}A+\operatorname{rank}B=n.$$

3. 对任意 $n\times n$ 实矩阵 $B$，证明

$$\operatorname{rank}(A+B) \leq \operatorname{rank}A+\operatorname{rank}B.$$

4. 对任意 $n\times n$ 实矩阵 $B$，证明

$$\operatorname{rank}A+\operatorname{rank}B \leq \operatorname{rank}(AB)+n.$$

Kai

(i) $AB=O$ の場合

$B$ の各列を $\boldsymbol b_j$ とする。 $AB=O$ から

$$A\boldsymbol b_j=0$$

なので、 $\operatorname{Im}B\subset\ker A$ である。したがって

$$\operatorname{rank}B \leq\dim\ker A =n-\operatorname{rank}A,$$

すなわち

$$\operatorname{rank}A+\operatorname{rank}B\leq n.$$

(ii) 等号を実現する $B$

$r=\operatorname{rank}A$ とし、 $\ker A$ の基底を

$$\boldsymbol x_1,\ldots,\boldsymbol x_{n-r}$$

とする。これらと零列を並べて

$$B=(\boldsymbol x_1\ \cdots\ \boldsymbol x_{n-r}\ 0\ \cdots\ 0)$$

と定める。このとき $AB=O$ かつ $\operatorname{rank}B=n-r$ だから、

$$\operatorname{rank}A+\operatorname{rank}B=n.$$

(iii) 和の階数

任意の $\boldsymbol x\in\mathbb R^n$ に対して

$$(A+B)\boldsymbol x=A\boldsymbol x+B\boldsymbol x \in\operatorname{Im}A+\operatorname{Im}B.$$

よって

$$\begin{aligned} \operatorname{rank}(A+B) &\leq\dim(\operatorname{Im}A+\operatorname{Im}B)\\ &\leq\operatorname{rank}A+\operatorname{rank}B. \end{aligned}$$

(iv) Sylvester の不等式

線形写像 $A$ を $\operatorname{Im}B$ に制限する。この写像の核と像はそれぞれ

$$\ker(A|_{\operatorname{Im}B}) =\ker A\cap\operatorname{Im}B$$

および $\operatorname{Im}(AB)$ である。次元定理により、

$$\operatorname{rank}B =\dim(\ker A\cap\operatorname{Im}B) +\operatorname{rank}(AB).$$

ここで

$$\dim(\ker A\cap\operatorname{Im}B) \leq\dim\ker A =n-\operatorname{rank}A.$$

したがって

$$\operatorname{rank}A+\operatorname{rank}B \leq\operatorname{rank}(AB)+n$$

を得る。