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京都大学 情報学研究科 数理工学専攻 2020年8月実施 基礎数学 I

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Author​

思齐塾, 祭音Myyura

Description​

区間 [0,1][0, 1] 上の C1C^1 級関数 φ(t)\varphi(t) で φ(0)=0,φ(1)=1\varphi(0) = 0, \varphi(1) = 1 を満たすもの全体の集合を Γ\Gamma とする。 φ∈Γ\varphi \in \Gamma に対して、

I(φ)=∫01(φ˙(t))2dt,J(φ)=∫01(tφ˙(t))2dtI(\varphi) = \int_0^1 (\dot{\varphi}(t))^2 dt, \quad J(\varphi) = \int_0^1 (t\dot{\varphi}(t))^2 dt

とおく。ここで、 φ˙(t)\dot{\varphi}(t) は φ(t)\varphi(t) の導関数 dφdt(t)\frac{d\varphi}{dt}(t) である。また、

A=inf⁡φ∈ΓI(φ),B=inf⁡φ∈ΓJ(φ)A = \inf_{\varphi \in \Gamma} I(\varphi), \quad B = \inf_{\varphi \in \Gamma} J(\varphi)

とおく。以下の問いに答えよ。

(i) AA を求めよ。また、 I(φ)=AI(\varphi) = A となる φ∈Γ\varphi \in \Gamma を求めよ。

(ii) 正の整数 nn に対して、 φn(t)=1−(1−t)n\varphi_n(t) = 1 - (1 - t)^n とおく。 J(φn)J(\varphi_n) を求めよ。

(iii) BB を求めよ。

(iv) J(φ)=BJ(\varphi) = B となる φ∈Γ\varphi \in \Gamma は存在しないことを示せ。

题目描述​

令 Γ\Gamma 为区间 [0,1][0,1] 上所有满足

φ∈C1[0,1],φ(0)=0,φ(1)=1\varphi\in C^1[0,1], \qquad \varphi(0)=0, \qquad \varphi(1)=1

的函数所成的集合。对 φ∈Γ\varphi\in\Gamma，定义

I(φ)=∫01φ˙(t)2 dt,J(φ)=∫01(tφ˙(t))2 dt,I(\varphi) = \int_0^1\dot{\varphi}(t)^2\,dt, \qquad J(\varphi) = \int_0^1\bigl(t\dot{\varphi}(t)\bigr)^2\,dt,

其中

φ˙(t)=dφdt(t).\dot{\varphi}(t) = \frac{d\varphi}{dt}(t).

再定义

A=inf⁡φ∈ΓI(φ),B=inf⁡φ∈ΓJ(φ).A=\inf_{\varphi\in\Gamma}I(\varphi), \qquad B=\inf_{\varphi\in\Gamma}J(\varphi).

回答：

  1. 求 AA，并求所有满足 I(φ)=AI(\varphi)=A 的 φ∈Γ\varphi\in\Gamma。
  2. 对正整数 nn，令
φn(t)=1−(1−t)n.\varphi_n(t)=1-(1-t)^n.

求 J(φn)J(\varphi_n)。 3. 求 BB。 4. 证明不存在满足 J(φ)=BJ(\varphi)=B 的 φ∈Γ\varphi\in\Gamma。

Kai​

(i) 下限値と等号成立条件​

境界条件とコーシー・シュワルツの不等式から

1=φ(1)−φ(0)=∫01φ˙(t) dt,1≤(∫0112 dt)(∫01φ˙(t)2 dt)=I(φ).\begin{aligned} 1 &=\varphi(1)-\varphi(0) =\int_0^1\dot{\varphi}(t)\,dt,\\ 1 &\leq \left(\int_0^1 1^2\,dt\right) \left(\int_0^1\dot{\varphi}(t)^2\,dt\right) =I(\varphi). \end{aligned}

一方、 φ(t)=t\varphi(t)=t は Γ\Gamma に属し、 I(φ)=1I(\varphi)=1 を満たす。したがって

A=1.A=1.

コーシー・シュワルツの等号条件より、 I(φ)=1I(\varphi)=1 ならば φ˙\dot{\varphi} は定数である。二つの境界条件を使うと、その定数は 11 である。ゆえに、等号を達成する関数は

φ(t)=t\varphi(t)=t

だけである。

(ii) 近似列に対する計算​

φ˙n(t)=n(1−t)n−1\dot{\varphi}_n(t)=n(1-t)^{n-1}

であるから、

J(φn)=n2∫01t2(1−t)2n−2 dt=n2B(3,2n−1)=n2Γ(3)Γ(2n−1)Γ(2n+2)=2n2(2n−2)!(2n+1)!=n4n2−1.\begin{aligned} J(\varphi_n) &=n^2\int_0^1 t^2(1-t)^{2n-2}\,dt\\ &=n^2 B(3,2n-1)\\ &=n^2\frac{\Gamma(3)\Gamma(2n-1)}{\Gamma(2n+2)}\\ &=\frac{2n^2(2n-2)!}{(2n+1)!}\\ &=\frac{n}{4n^2-1}. \end{aligned}

(iii) 下限値​

被積分関数が非負なので J(φ)≥0J(\varphi)\geq 0 であり、 B≥0B\geq 0 である。一方、(ii) より

lim⁡n→∞J(φn)=lim⁡n→∞n4n2−1=0.\lim_{n\to\infty}J(\varphi_n) =\lim_{n\to\infty}\frac{n}{4n^2-1} =0.

各 φn\varphi_n は Γ\Gamma に属するので B≤J(φn)B\leq J(\varphi_n) である。したがって

B=0.B=0.

(iv) 下限値を達成する関数の非存在​

J(φ)=0J(\varphi)=0 と仮定する。連続な非負関数 (tφ˙(t))2(t\dot{\varphi}(t))^2 の積分が 00 なので、この関数は [0,1][0,1] 上で恒等的に 00 でなければならない。したがって t>0t>0 では φ˙(t)=0\dot{\varphi}(t)=0 であり、 φ\varphi は (0,1](0,1] 上で定数である。

φ\varphi の連続性から、その定数は φ(0)\varphi(0) にも等しくなる。これは φ(0)=0\varphi(0)=0 と φ(1)=1\varphi(1)=1 に矛盾する。ゆえに、 J(φ)=BJ(\varphi)=B を満たす φ∈Γ\varphi\in\Gamma は存在しない。

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