京都大学 情報学研究科 数理工学専攻 2019年8月実施 オペレーションズ・リサーチ

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Casablanca

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日本語版

以下の問 (i)、(ii) に答えよ。

(i) 次の非線形計画問題を考える。

ただし、(P) の決定変数は であり、 と は以下のように定義された目的関数と実行可能領域である。

問題 (P) は唯一の最適解 を持ち、関数 は 上で凹関数（すなわち、 は凸関数）であることが知られている。 ただし、 である。

以下の (a), (b), に答えよ。

(a) 問題 (P) のカルーシュ・キューン・タッカー条件 (Karush-Kuhn-Tucker 条件) を書け。(問題 (P) が最大化問題であることに注意すること。)

(b) 問題 (P) の最適解 を求めよ。

とする。問題 (P) の最適解 を利用して、以下の算術幾何平均の不等式が成り立つことを示せ。

(ii) 正の整数 に対して、 を から への非負の凸関数の集合とする。以下の (A), (B) に答えよ。

(A) が与えられたとき、関数 を と定義する。そのとき、任意の に対して、 が凸関数であることを示せ。

(B) 正の数 と が与えられたとき、関数 を と定義する。 そのとき、すべての と に対して、 が凸関数であるような最小な を求めよ。その際、 が最小であることを示せ。

English Version

Kai

(i)

(a)

Lagrangian:

(b)

, satisfied KKT-conditions if ,

(ii)

(A)

For any , w.l.o.g, let be an nonnegative function. Then

and consider , by calculating , easily we see:

(B)

for : since , and increases for then thus is convex for .

If , let , easy to see is not convex. hence