京都大学情報学研究科数理工学専攻 2019年8月実施力学系数学

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Casablanca

を定数として次の実微分方程式を考える．

をの有理関数，式 (1) の解およびそれらの高階導関数の有理式全体からなる集合とする．特に，は式 (1) の任意の解の 2 階導関数を含む．次の条件を満たす全単射写像全体の集合をで表す．

(A1) 任意のに対しておよびが成立

(A2) 任意の有理関数に対してが成立

(A3) 任意のに対してが成立

が式 (1) の解であるとき，以下の問いに答えよ．

(i) 定数を定めよ．

(ii) と 1 次独立な解を一つ求めよ．

(iii) が解のときも解であることを示せ．

(iv) を(ii)で求めた解とする．(iii)により，任意のに対して，ある定数が存在して

が成立する．各に対して成分がの 2 次正方行列をと表す．このとき，任意のに対してが成立することを示せ．

substitute by in (1),

we have

Let and substitute by in (1), we have

by solving this equation, we obtain:

where and are constants.

By setting , , we have

And we obtain

is symmetric.