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京都大学 情報学研究科 数理工学専攻 2019年8月実施 基礎数学 II

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Author​

思齐塾, 祭音Myyura

Description​

以下の問いに答えよ。

(i) 4×44 \times 4 行列

A=(−1121413−1−723411−10−5)A = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 2 & 1 \\ 4 & 1 & 3 & -1 \\ -7 & 2 & 3 & 4 \\ 11 & -1 & 0 & -5 \end{pmatrix}

のランク (階数) rr を求め, rank B=r\text{rank } B = r なる適当な 4×r4 \times r 行列 BB , rank C=r\text{rank } C = r なる r×4r \times 4 行列 CC への分解 A=BCA = BC を計算せよ。

(ii) nn 本の mm 次元列ベクトル a1,a2,…,an\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \dots, \mathbf{a}_n からなる m×nm \times n 行列

A=(a1a2…an)A = \begin{pmatrix} \mathbf{a}_1 & \mathbf{a}_2 & \dots & \mathbf{a}_n \end{pmatrix}

のランク rr は r<min⁡{m,n}r < \min\{m, n\} であるものとする。このとき, 行列 AA は, rank B=r\text{rank } B = r なる適当な m×rm \times r 行列 BB , rank C=r\text{rank } C = r なる r×nr \times n 行列 CC を用いて

A=BCA = BC

と分解されることを示せ。

题目描述​

回答下列问题。

  1. 对矩阵
A=(−1121413−1−723411−10−5),A= \begin{pmatrix} -1&1&2&1\\ 4&1&3&-1\\ -7&2&3&4\\ 11&-1&0&-5 \end{pmatrix},

求其秩 rr，并具体求出一个 4×r4\times r 矩阵 BB 和一个 r×4r\times4 矩阵 CC，使

A=BC,rank⁡B=rank⁡C=r.A=BC, \qquad \operatorname{rank}B =\operatorname{rank}C=r.
  1. 设 m×nm\times n 矩阵
A=(a1a2⋯an)A= \begin{pmatrix} \boldsymbol{a}_1& \boldsymbol{a}_2& \cdots& \boldsymbol{a}_n \end{pmatrix}

由 nn 个 mm 维列向量组成，并且

rank⁡A=r<min⁡{m,n}.\operatorname{rank}A=r<\min\{m,n\}.

证明存在适当的 m×rm\times r 矩阵 BB 与 r×nr\times n 矩阵 CC，满足

A=BC,rank⁡B=rank⁡C=r.A=BC, \qquad \operatorname{rank}B =\operatorname{rank}C=r.

Kai​

(i) 与えられた行列の階数分解​

行基本変形により、

A⟶(1015−25011153500000000).A\longrightarrow \begin{pmatrix} 1&0&\frac15&-\frac25\\ 0&1&\frac{11}5&\frac35\\ 0&0&0&0\\ 0&0&0&0 \end{pmatrix}.

したがって rank⁡A=2\operatorname{rank}A=2 であり、主列は第 1,21,2 列である。そこで

B=(−1141−7211−1),C=(1015−250111535)B= \begin{pmatrix} -1&1\\ 4&1\\ -7&2\\ 11&-1 \end{pmatrix}, \qquad C= \begin{pmatrix} 1&0&\frac15&-\frac25\\ 0&1&\frac{11}5&\frac35 \end{pmatrix}

とおく。直接乗法すると、

BC=(−1121413−1−723411−10−5)=A.BC= \begin{pmatrix} -1&1&2&1\\ 4&1&3&-1\\ -7&2&3&4\\ 11&-1&0&-5 \end{pmatrix} =A.

BB の二列は一次独立であり、 CC は I2I_2 を列として含むので、

rank⁡B=rank⁡C=2.\operatorname{rank}B=\operatorname{rank}C=2.

(ii) 一般の階数分解​

rank⁡A=r\operatorname{rank}A=r とする。 AA の列から一次独立な rr 本

ai1,…,air\boldsymbol a_{i_1},\ldots,\boldsymbol a_{i_r}

を選び、

B=(ai1 ⋯ air)B=(\boldsymbol a_{i_1}\ \cdots\ \boldsymbol a_{i_r})

とおく。これらは列空間の基底なので rank⁡B=r\operatorname{rank}B=r である。

各列 aj\boldsymbol a_j は一意に

aj=∑k=1rckjaik\boldsymbol a_j =\sum_{k=1}^rc_{kj}\boldsymbol a_{i_k}

と書ける。係数を C=(ckj)∈Rr×nC=(c_{kj})\in\mathbb R^{r\times n} に並べれば、列ごとに比較して A=BCA=BC である。さらに、選んだ列 aik\boldsymbol a_{i_k} に対応する CC の列は標準基底であるため、 CC は IrI_r を列として含む。したがって

rank⁡C=r\operatorname{rank}C=r

であり、求める階数分解が得られる。

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