京都大学 情報学研究科 数理工学専攻 2018年8月実施 オペレーションズ・リサーチ

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Casablanca

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日本語版

関数 を凸関数とする。さらに, 関数 と を以下のように定義する。

ベクトル が与えられとき, 集合 を以下のように定義する。

次の非線形計画問題 を考える。

以下の問いに答えよ。

(i) 任意の に対して, 次の不等式が成り立つことを示せ。

(ii) 関数 と が凸関数であることを示せ。

(iii) 次の線形計画問題のカルーシュ タッカー (Karush-Kuhn-Tucker) 条件を書け。

ただし, 決定変数は である。

(iv) 問題 の最適解の集合を とする。このとき, となることを示せ。

English Version

Kai

(i)

use mathematical introction:

when , since is convex,

when make an assumption that,

when ,

according to introdction principle, for any ,

(ii)

for , is convex.

for :

(iii)

Lagrangian

(iv)

is a polyhedron with vertexes

maimiaze maximize

conversely, we assume that

then we have

since

then

there exist , such that , thus

but we also get

these two are conflict with each other. Therefore .