京都大学 情報学研究科 数理工学専攻 2018年8月実施 力学系数学

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Author

Casablanca, 祭音Myyura

Description

日本語版

$a, b, c, d \in \mathbb{R}$ を定数として次の微分方程式を考える。

$$\begin{align} t^2 \frac{dx}{dt} + (at + b)x = ct + d \tag{1} \end{align}$$

以下の問いに答えよ。ただし、$b \neq 0$ とし、自然数 $n$ に対して最高次の次数が $n$ の $t$ の多項式で表される解を $n$ 次多項式解と呼ぶ。

(i) 式 (1) が１次多項式解を持つための必要十分条件を $a, b, c, d$ を用いて表わせ。

(ii) 自然数 $n > 1$ に対して、式 (1) が $n$ 次多項式解をもつための必要十分条件を $a, b, c, d, n$ を用いて表わせ。

(iii) どんな自然数 $n$ に対しても式 (1) が $n$ 次多項式解をもたないための必要十分条件を $a, b, c, d$ を用いて表わせ。

English Version

题目描述

设 $a,b,c,d\in\mathbb R$ 为常数，且 $b\ne0$。考虑微分方程

$$t^2\frac{dx}{dt}+(at+b)x=ct+d. \tag{1}$$

对正整数 $n$，称能表示为关于 $t$ 的次数恰为 $n$ 的多项式的解为“$n$ 次多项式解”。回答：

1. 用 $a,b,c,d$ 表示方程 (1) 存在一次多项式解的充要条件。
2. 对任意正整数 $n>1$，用 $a,b,c,d,n$ 表示方程 (1) 存在 $n$ 次多项式解的充要条件。
3. 用 $a,b,c,d$ 表示如下性质成立的充要条件：对每个正整数 $n$，方程 (1) 都不存在 $n$ 次多项式解。

Kai

(i)

Suppose that $x(t) = pt + q$ is a solution, $p \neq 0$, we have

$$p(1+a)t^2+(aq+bp-c)t+bq-d=0.$$

$$p(1+a)=0,\qquad aq+bp=c,\qquad bq=d.$$

Thus $q=d/b$, $a=-1$, and $p=(bc+d)/b^2$. Since the degree must be exactly one, the necessary and sufficient condition is

$$a=-1,\qquad bc+d\ne0.$$

(ii)

Let $x(t)=\sum_{j=0}^n q_jt^j$, where $q_n\ne0$. Comparing coefficients gives

$$\begin{aligned} (n+a)q_n&=0,\\ (j-1+a)q_{j-1}+bq_j&=0 &&(2\le j\le n),\\ aq_0+bq_1&=c,\\ bq_0&=d. \end{aligned}$$

Hence $a=-n$ and

$$q_0=\frac db,\qquad q_1=\frac{bc+nd}{b^2},\qquad q_j=\frac{n-j+1}{b}q_{j-1}.$$

Therefore $q_n\ne0$ exactly when $bc+nd\ne0$. The necessary and sufficient condition is

$$a=-n,\qquad bc+nd\ne0.$$

(iii)

By (i) and (ii), an $n$th-degree polynomial solution exists exactly when

$$a=-n\quad\text{and}\quad bc+nd\ne0.$$

Therefore no positive degree occurs for any $n\in\mathbb N$ if and only if

$$-a\notin\mathbb N \quad\text{or}\quad \bigl(-a\in\mathbb N\ \text{and}\ ad=bc\bigr).$$