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京都大学 情報学研究科 数理工学専攻 2018年8月実施 基礎数学 II

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Author​

思齐塾, 祭音Myyura

Description​

n×nn \times n 行列 AA を用い, 線形写像 ff を

f:Rn→Rn;v↦Avf: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n; v \mapsto Av

によって定める。このとき, ff の核を

N={v∈Rn∣f(v)=0}N = \{ v \in \mathbb{R}^n \mid f(v) = 0 \}

で表し, ベクトル v=(v1,v2,…,vn)T∈Rnv = (v_1, v_2, \dots, v_n)^T \in \mathbb{R}^n の非ゼロ要素数を

σ(v)=∑j=1nδ(vj)\sigma(v) = \sum_{j=1}^n \delta(v_j)

によって定める。ただし, 記号 T^T は転置を表し, δ(a)={0(a=0)1(a≠0)\delta(a) = \begin{cases} 0 & (a = 0) \\ 1 & (a \neq 0) \end{cases} とする。 dd を nn 以下の正の整数とする。このとき, 以下の問いに答えよ。

(i) Rn\mathbb{R}^n の部分空間 V={v∈Rn∣v=f(u),u∈Rn}V = \{ v \in \mathbb{R}^n \mid v = f(u), u \in \mathbb{R}^n \} の次元が

dim⁡V=n−dim⁡N\dim V = n - \dim N

で与えられることを示せ。

(ii) 行列 AA の適当な d−1d-1 個の列ベクトルの組が線形従属ならば, σ(x)<d\sigma(x) < d を満たす非ゼロベクトル x∈Nx \in N が存在することを示せ。

(iii) 任意の非ゼロベクトル x∈Nx \in N に対して σ(x)≥d\sigma(x) \ge d が成り立つための必要十分条件は, 行列 AA の任意の d−1d-1 個の列ベクトルの組が常に一次独立であることを示せ。

题目描述​

用 n×nn\times n 矩阵 AA 定义线性映射

f:Rn→Rn,v⟼Av.f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n, \qquad \boldsymbol{v}\longmapsto A\boldsymbol{v}.

记其核为

N={v∈Rn∣f(v)=0}.N = \{\boldsymbol{v}\in\mathbb{R}^n \mid f(\boldsymbol{v})=\boldsymbol{0}\}.

对

v=(v1,v2,…,vn)⊤∈Rn,\boldsymbol{v} =(v_1,v_2,\ldots,v_n)^\top \in\mathbb{R}^n,

定义非零分量的个数

σ(v)=∑j=1nδ(vj),δ(a)={0,a=0,1,a≠0,\sigma(\boldsymbol{v}) = \sum_{j=1}^n\delta(v_j), \qquad \delta(a) = \begin{cases} 0,&a=0,\\ 1,&a\ne0, \end{cases}

其中 ⊤\top 表示转置。设 dd 是不超过 nn 的正整数。回答：

  1. 定义像空间
V={v∈Rn∣v=f(u) for some u∈Rn}.V = \{\boldsymbol{v}\in\mathbb{R}^n \mid \boldsymbol{v}=f(\boldsymbol{u}) \text{ for some }\boldsymbol{u}\in\mathbb{R}^n\}.

证明

dim⁡V=n−dim⁡N.\dim V=n-\dim N.

  1. 证明：若能从 AA 的列向量中选出 d−1d-1 个线性相关的列，则存在 0≠x∈N\boldsymbol{0}\ne\boldsymbol{x}\in N 满足 σ(x)<d\sigma(\boldsymbol{x})<d。

  2. 证明以下两项互为充要条件：

    • 对每个 0≠x∈N\boldsymbol{0}\ne\boldsymbol{x}\in N，都有 σ(x)≥d\sigma(\boldsymbol{x})\geq d；
    • 任取 AA 的 d−1d-1 个列向量，它们都线性无关。

Kai​

(i) 像と核の次元​

線形写像 f:Rn→Rnf:\mathbb R^n\to\mathbb R^n に次元定理を適用すると、

dim⁡Im⁡f+dim⁡ker⁡f=n.\dim\operatorname{Im}f+\dim\ker f=n.

V=Im⁡fV=\operatorname{Im}f 、 N=ker⁡fN=\ker f だから、

dim⁡V=n−dim⁡N\dim V=n-\dim N

である。

(ii) 列の一次従属から核ベクトルを作る​

AA の列を a1,…,an\boldsymbol a_1,\ldots,\boldsymbol a_n とする。添字 i1,…,id−1i_1,\ldots,i_{d-1} の列が一次従属なら、すべては 00 ではない係数 c1,…,cd−1c_1,\ldots,c_{d-1} が存在して

∑k=1d−1ckaik=0\sum_{k=1}^{d-1}c_k\boldsymbol a_{i_k}=0

となる。 x∈Rnx\in\mathbb R^n を

xik=ck,xj=0(j∉{i1,…,id−1})x_{i_k}=c_k,\qquad x_j=0\quad (j\notin\{i_1,\ldots,i_{d-1}\})

で定めると、 x≠0x\neq0 かつ Ax=0Ax=0 である。また、非零成分は高々 d−1d-1 個なので、

σ(x)≤d−1<d.\sigma(x)\leq d-1<d.

(iii) 必要十分条件​

まず、すべての x∈N∖{0}x\in N\setminus\{0\} が σ(x)≥d\sigma(x)\geq d を満たすとする。もしある d−1d-1 本の列が一次従属なら、(ii) により σ(x)<d\sigma(x)<d となる x∈N∖{0}x\in N\setminus\{0\} が存在して矛盾する。したがって任意の d−1d-1 本の列は一次独立である。

逆に、任意の d−1d-1 本の列が一次独立であるとする。 σ(x)=s<d\sigma(x)=s<d となる x∈N∖{0}x\in N\setminus\{0\} があれば、

0=Ax=∑xj≠0xjaj0=Ax=\sum_{x_j\neq0}x_j\boldsymbol a_j

は ss 本の列の非自明な一次従属関係である。これらの列を d−1d-1 本まで補えば、一次従属な d−1d-1 本の列が得られて仮定に反する。よってすべての x∈N∖{0}x\in N\setminus\{0\} について σ(x)≥d\sigma(x)\geq d である。

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