京都大学 情報学研究科 数理工学専攻 2018年8月実施 基礎数学 I

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思齐塾, 祭音Myyura

Description

大学公表の原題

以下の問いに答えよ。

(i) 2項係数を $_mC_n = \frac{m!}{n!(m-n)!}$ とかく。2項定理

$(a+b)^n = _nC_0 a^n + _nC_1 a^{n-1}b + _nC_2 a^{n-2}b^2 + \dots + _nC_n b^n$

を用いて、 $x > 1$ のとき

$$\lim_{n \to \infty} x^n = \infty$$

であることを示せ。

さらに、 $0 < x < 1$ のとき

$$\lim_{n \to \infty} nx^n = 0$$

であることを示せ。

(ii) $x_0 \neq 0$ とする。級数

$$\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$$

が点 $x = x_0$ で収束すれば、 $|x| < |x_0|$ なるすべての実数 $x$ についてこの級数は収束することを示せ。

さらに、級数

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} x^n$$

が収束するような実数 $x$ の範囲を求めよ。

题目描述

回答下列问题。

1. 用

$${}_mC_n=\frac{m!}{n!(m-n)!}$$

表示二项式系数，并使用二项式定理

$$(a+b)^n ={}_nC_0a^n+{}_nC_1a^{n-1}b +{}_nC_2a^{n-2}b^2+\cdots+{}_nC_nb^n$$

证明：

1. 当 $x>1$ 时，

$$\lim_{n\to\infty}x^n=\infty;$$

2. 当 $0<x<1$ 时，

$$\lim_{n\to\infty}nx^n=0.$$

2. 设 $x_0\ne0$。证明：若幂级数

$$\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$$

在 $x=x_0$ 处收敛，则它对每个满足 $|x|<|x_0|$ 的实数 $x$ 都收敛。

再求使级数

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n^2}$$

收敛的全部实数 $x$。

Kai

(i) 二つの極限

まず $x>1$ とし、 $x=1+h$ とおく。このとき $h>0$ であり、二項定理から

$$x^n=(1+h)^n =1+nh+\binom{n}{2}h^2+\cdots+h^n \geq 1+nh.$$

右辺は正の無限大に発散するので、

$$\lim_{n\to\infty}x^n=\infty.$$

次に $0<x<1$ とし、 $x=1/(1+h)$ とおく。ここでも $h>0$ である。 $n\geq 3$ に対し、二項定理から

$$(1+h)^n\geq \binom{n}{3}h^3 =\frac{n(n-1)(n-2)}{6}h^3.$$

したがって

$$0<nx^n =\frac{n}{(1+h)^n} \leq \frac{6}{(n-1)(n-2)h^3}.$$

右辺は $0$ に収束するため、はさみうちの原理により

$$\lim_{n\to\infty}nx^n=0.$$

(ii) べき級数の収束

級数 $\sum_{n=0}^{\infty}a_nx_0^n$ が収束すると、その一般項からなる数列 $\{a_nx_0^n\}$ は有界である。したがって、ある $M>0$ が存在して

$$|a_nx_0^n|\leq M$$

がすべての $n$ で成り立つ。 $|x|<|x_0|$ のとき $q=|x/x_0|<1$ とおけば、

$$|a_nx^n| =|a_nx_0^n|\left|\frac{x}{x_0}\right|^n \leq Mq^n.$$

右辺の和は収束する幾何級数なので、比較判定法により $\sum a_nx^n$ は絶対収束する。

最後に

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n^2}$$

を考える。 $x\neq 0$ に対する隣接項の絶対値の比は

$$\left| \frac{x^{n+1}/(n+1)^2}{x^n/n^2} \right| =|x|\left(\frac{n}{n+1}\right)^2 \longrightarrow |x|.$$

したがって $|x|<1$ では絶対収束し、 $|x|>1$ では一般項が $0$ に収束せず発散する。端点 $x=1$ と $x=-1$ では、それぞれ

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}, \qquad \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^2}$$

となり、どちらも絶対収束する。以上より、収束する実数 $x$ の範囲は

$$-1\leq x\leq 1$$

である。