京都大学 情報学研究科 数理工学専攻 2017年8月実施 オペレーションズ・リサーチ

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Casablanca

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日本語版

とする。さらに, 関数 は次の不等式を満たす連続的微分可能な関数とする。

ただし, は転置記号である。

  次の非線形計画問題 を考える。

さらに, パラメータ をもつ次の凸 次計画問題 を考える。

ただし, 問題 の決定変数は である。任意の に対して, 問題 は唯一の最適解 をもつ。

  以下の問いに答えよ。

(i) 任意の に対して次の不等式が成り立つことを示せ。

(ii) 問題 のカルーシュ タッカー (Karush-Kuhn-Tucker) 条件を書け。

(iii) 任意の に対して次の不等式が成り立つことを示せ。

(iv) 次の命題 (A) について, 真であれば証明を, 偽であれば反例を与えよ。

   (A) かつ であれば, は問題 の局所的最適解である。

English Version

Kai

(i)

and

Let ,

(ii)

Lagrangian:

(iii)

Solution 1

Since minimize , we obtain

from (i) we have

by subtracting them, we obtain

Solution 2

From (i) we have

by KKT-conditons we have

then

thus

(iv)