京都大学 情報学研究科 数理工学専攻 2017年8月実施 力学系数学

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Casablanca

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日本語版

$f(t), g(t), h(t)$ を $\mathbb{R}$ 上の連続関数として、

$$A(t) = \begin{pmatrix} f(t) & 0 \\ g(t) & h(t) \end{pmatrix}$$

とおき、$\mathbb{R}$ 上において2元連立線形微分方程式

$$\begin{align} \frac{d \boldsymbol{x}}{dt} = A(t) \boldsymbol{x}, \quad \boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^2 \tag{1} \end{align}$$

を考える。$I$ を2次単位行列、

$$F(t) = \int_0^t f(s)ds, \quad G(t) = \int_0^t g(s)ds, \quad H(t) = \int_0^t h(s)ds$$

として、以下の問いに答えよ。ただし、$t \neq 0$ のとき $F(t) \neq H(t)$ が成立するものとする。

(i) $\Phi(0) = I$ を満たす式 (1) の基本行列 $\Phi(t)$ を求めよ。ここで、基本行列 $\Phi(t)$ とは、正則かつ $\frac{d}{dt} \Phi(t) = A(t) \Phi(t)$ を満たす2次正方行列のことをいう。

(ii) $t \neq 0$ のとき、行列 $\Psi(t) = \begin{pmatrix} F(t) & 0 \\ G(t) & H(t) \end{pmatrix}$ の対角化を行って、指数関数 $\exp \Psi(t)$ を求めよ。

(iii) $k \in \mathbb{R}$ をある定数として $\mathbb{R}$ 上で $G(t) = k(F(t) - H(t))$ が成立するとき、(ii) で求めた指数関数 $\exp \Psi(t)$ が式 (1) の基本行列となることを示せ。

(iv) (i) と (ii) を用いて、指数関数 $\exp \Psi(t)$ が式 (1) の基本行列とならない $f(t)$, $g(t)$, $h(t)$ の例をあげよ。

English Version

Kai

(i)

$$\begin{pmatrix} x_1' & x_2' \\ x_3' & x_4' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} f(t) & 0 \\ g(t) & h(t) \end{pmatrix} \boldsymbol{x}$$

then we have

$$\begin{aligned} \frac{dx_1}{dt} &= x_1 f(t) \\ \frac{dx_2}{dt} &= x_2 f(t) \\ \frac{dx_3}{dt} &= x_1 g(t) + x_3 h(t) \\ \frac{dx_4}{dt} &= x_2 g(t) + x_4h(t) \end{aligned}$$

get the solutions:

$$\begin{aligned} x_1 &= e^{F(t)} \\ x_2 &= 0 \\ x_3 &= e^{H(t)}\int \frac{g(t)e^{H(t)}}{e^{F(t)}}dt \\ x_4 &= e^{H(t)} \end{aligned}$$

(ii)

Consider $|\Psi(t) - I\lambda| = 0$, then we have $\lambda$ = $F(t), H(t)$.

For $\lambda = F(t)$, $\boldsymbol{\xi}^\top = [H(t) - F(t), -G(t)]$ For $\lambda = H(t)$, $\boldsymbol{\xi}^\top = [0,1]$

thus

$$P(t) = \begin{pmatrix} H(t)-F(t) & 0 \\ -G(t) & 1 \end{pmatrix}, P^{-1}(t) = \begin{pmatrix} \frac{1}{H(t)-F(t)} & 0 \\ \frac{G(t)}{H(t)-F(t)} & 1 \end{pmatrix}$$

then

$$e^{\Psi(t)} = P(t)e^{\Lambda(t)}P^{-1}(t) = \begin{pmatrix} e^{F(t)} & 0 \\ \frac{G(t)(e^{F(t)} - e^{H(t)})}{H(t)-F(t)} & e^{H(t)} \end{pmatrix}$$

(iii)

$$e^{\Psi(t)} = \begin{pmatrix} e^{F(t)} & 0 \\ k(e^{H(t)} - e^{F(t)}) & e^{H(t)} \end{pmatrix}$$

$$\frac{de^{\Psi (t)}}{dt} = \begin{pmatrix} f(t)e^{F(t)} & 0 \\ k(h(t)e^{H(t)} - f(t)e^{F(t)}) & h(t)e^{H(t)} \end{pmatrix}$$

and

$$A(t)e^{\Psi (t)} = \frac{de^{\Psi (t)}}{dt}$$

thus $e^{\Psi (t)}$ is a fundamental matrix.

(iv)

$$f(t) = t, h(t) = t-1, g(t) = t^2$$