京都大学 情報学研究科 数理工学専攻 2017年8月実施 基礎数学 I

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思齐塾, 祭音Myyura

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大学公表の原題

以下の問いに答えよ。

(i) 三角関数 $\tan x, \cot x$ についての加法公式

$$\frac{1}{2} \tan x = \frac{1}{2} \cot x - \cot 2x$$

を用いて $\frac{1}{2^k} \tan \frac{x}{2^k}$ の無限和と $\cot x$ に関する等式

$$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{2^k} \tan \frac{x}{2^k} = \frac{1}{x} - \cot x$$

を示せ。

(ii) 双曲線関数 $\tanh x, \coth x$ についての加法公式を与えよ。さらにこれを利用して、 $\frac{1}{2^k} \tanh \frac{x}{2^k}$ の無限和と $\coth x$ に関する等式を導出せよ。ただし、これらの双曲線関数は、実数 $x$ について

$$\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x}, \quad \coth x = \frac{\cosh x}{\sinh x}, \quad \sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}, \quad \cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$$

によって定義される。

题目描述

回答下列问题。

1. 使用三角函数 $\tan x$、$\cot x$ 的倍角关系

$$\frac12\tan x = \frac12\cot x-\cot 2x,$$

证明在各项均有定义的情形下，

$$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{2^k}\tan\frac{x}{2^k} = \frac1x-\cot x.$$

2. 先写出双曲函数 $\tanh x$、$\coth x$ 的相应倍角关系，再利用它推导 $\frac{1}{2^k}\tanh\frac{x}{2^k}$ 的无穷级数与 $\coth x$ 之间的等式。这里对实数 $x$ 定义

$$\tanh x=\frac{\sinh x}{\cosh x}, \qquad \coth x=\frac{\cosh x}{\sinh x},$$

$$\sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}2, \qquad \cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}2.$$

Kai

(i)

与えられた公式で $x$ を $x/2^k$ に置き換え、両辺に $2^{-(k-1)}$ を掛けると、

$$\frac{1}{2^k}\tan\frac{x}{2^k} = \frac{1}{2^k}\cot\frac{x}{2^k} -\frac{1}{2^{k-1}}\cot\frac{x}{2^{k-1}}$$

となる。 $k=1,\ldots,n$ について和をとれば、中間項が消去され、

$$\sum_{k=1}^n\frac{1}{2^k}\tan\frac{x}{2^k} =\frac{1}{2^n}\cot\frac{x}{2^n}-\cot x$$

を得る。ここで

$$\frac{1}{2^n}\cot\frac{x}{2^n} = \frac{\cos(x/2^n)} {x\,\dfrac{\sin(x/2^n)}{x/2^n}} \longrightarrow\frac1x$$

なので、各項が定義される $x\neq 0$ に対して

$$\boxed{ \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{2^k}\tan\frac{x}{2^k} =\frac1x-\cot x}$$

となる。

(ii)

双曲線関数の倍角公式から、

$$\begin{aligned} \coth 2x &=\frac{\cosh^2x+\sinh^2x}{2\sinh x\cosh x}\\ &=\frac12\coth x+\frac12\tanh x \end{aligned}$$

である。したがって、求める加法公式は

$$\boxed{ \frac12\tanh x =\coth 2x-\frac12\coth x}$$

である。

この式で $x$ を $x/2^k$ に置き換え、両辺に $2^{-(k-1)}$ を掛けると、

$$\frac{1}{2^k}\tanh\frac{x}{2^k} = \frac{1}{2^{k-1}}\coth\frac{x}{2^{k-1}} -\frac{1}{2^k}\coth\frac{x}{2^k}$$

となる。部分和は

$$\sum_{k=1}^n\frac{1}{2^k}\tanh\frac{x}{2^k} =\coth x-\frac{1}{2^n}\coth\frac{x}{2^n}$$

である。また、

$$\frac{1}{2^n}\coth\frac{x}{2^n} = \frac{\cosh(x/2^n)} {x\,\dfrac{\sinh(x/2^n)}{x/2^n}} \longrightarrow\frac1x$$

だから、 $x\neq 0$ に対して

$$\boxed{ \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{2^k}\tanh\frac{x}{2^k} =\coth x-\frac1x}$$

を得る。