京都大学 情報学研究科 数理工学専攻 2016年8月実施 オペレーションズ・リサーチ

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Casablanca

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日本語版

を の正定値対称行列とする。 さらに、関数 , , を以下のように定義する。

ただし、 は転置記号である。

をパラメータにもつ次の非線形計画問題を考える。

ただし、 と の決定変数は であり、 の決定変数は である。

任意のパラメータ に対して , , は唯一の最適解をもつ。 , , の最適解をそれぞれ , , とする。

以下の問いに答えよ。

(i) とする。 カルーシュ・キューン・タッカー (Karush-Kuhn-Tucker) 条件を用いて の最適解 を求めよ。( が最大化問題であることに注意すること。)

(ii) カルーシュ・キューン・タッカー条件を用いて の最適解 を求めよ。

(iii) 次の命題について、真であれば証明をし、偽であれば反例を与えよ。

• (a) 関数 を としたとき、関数 は凸関数である。
• (b) 関数 を としたとき、関数 は凸関数である。
• 関数 を としたとき、関数 は凸関数である。

English Version

Kai

(i)

Lagrantian:

easy to see satisfies KKT-conditions.

(ii)

Lagrangian:

satisfies KKT-conditions, and we get minimum

(iii)

(a)

Let , then easy to see that the function is not conves.

(b)

Easy to see . Then

when , is not convex.

, obviously, it's convex