京都大学 情報学研究科 数理工学専攻 2016年8月実施 力学系数学

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Author

Casablanca

Description

日本語版

$n$ を自然数、$ij$ 成分が

$$a_{ij}(t) = \begin{cases} &1 &(\text{for } i=j) \\ &t &(\text{for } i=j+1) \\ &0 &\text{otherwise} \end{cases}$$

の $n$ 次正方行列を $A(t)$ として、$t > 0$ において $n$ 元連立線形微分方程式

$$\frac{dx}{dt} = \frac{1}{t} A(t) x, \quad x \in \mathbb{R}^n$$

を考える。以下の問いに答えよ。

(i) $n = 1$ のとき一般解を求めよ。

(ii) $n = 2$ のとき一般解を求めよ。

(iii) 任意の自然数 $n$ に対して一般解を求めよ。

English Version

Kai

(i)

$$\frac{dx}{dt} = \frac{x}{t}$$

$$x = kt, \quad k \text{ is a constant}$$

(ii)

$$\frac {dx}{dt} = \begin{bmatrix} \frac 1t & 0 \\ 1 & \frac 1t \end{bmatrix} x$$

then

$$\frac{dx_1}{dt} = \frac 1t x_1 \Rightarrow x_i = kt$$

$$\frac{dx_2}{dt} = x_2 + \frac{x_2}{t} \Rightarrow kt^2 + mt$$

thus

$$\boldsymbol{x}(t) = [kt, kt^2 + mt]^\top$$

(iii)

$$\frac{dx}{dt} = \begin{bmatrix} \frac 1t & 0 &0 & \cdots &0 \\ 1 & \frac 1t &0 &\cdots & 0 \\ 0 & 1 & \frac 1t & \cdots &0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 &0 & \cdots &\frac 1t \end{bmatrix}$$

$$x_1 = c_1 t, \text{and } \frac{dx_{k+1}}{dt} = x_k + \frac {x_{k+1}}{t}$$

then we get

$$x_{k+1} = u(t)t$$

thus

$$x_{k+1} = (\int \frac{x_k}{t} dt + C)t$$

$$x_{k} = \sum_{i=1}^{k} \frac{c_i}{(i-1)!} t^i$$

Therefore

$$\boldsymbol{x}(t) = [x_1, x_2, \ldots, x_n]^\top$$