京都大学 情報学研究科 数理工学専攻 2016年8月実施 基礎数学 II

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• Kyoto-University
• Eigenvalues-and-Eigenvectors
• Matrix-Diagonalization
• Basis-and-Dimension
• Linear-Transformation

Author

思齐塾, 祭音Myyura

Description

大学公表の原題

Mat(n)をn次複素正方行列全体の集合とする. $A \in Mat(n)$ に対して線形写像

$$f_A: Mat(n) \to Mat(n)$$

を

$$f_A(X) = AX - XA$$

で定める. Aが異なるn個の固有値をもつと仮定し, $O$ はn次ゼロ行列とする. 以下の問いに答えよ.

(i) $n = 2$ かつ $a \in \mathbb{C}$ で $X \in Mat(2)$ が $\det(f_A(X)) = a$ を満たすとき, $f_A(X)$ の固有値をaを用いて表せ.

(ii) $X \in Mat(n)$ が $f_A(X) = O$ を満たすとき, $A$ と $X$ は同じ正則行列により対角化できることを示せ.

(iii) $X, Y \in Mat(n)$ が $f_A(X) = f_A(Y) = O$ を満たすとき,

$$XY = YX$$

が成り立つことを示せ.

(iv) $A$ が対角行列であるとき, 線形写像 $f_A$ の像の次元 $\dim f_A(Mat(n))$ を求めよ.

题目描述

记 $\operatorname{Mat}(n)$ 为全体 $n$ 阶复方阵组成的集合。对 $A\in\operatorname{Mat}(n)$，定义线性映射

$$f_A:\operatorname{Mat}(n)\to\operatorname{Mat}(n), \qquad f_A(X)=AX-XA.$$

假设 $A$ 有 $n$ 个互不相同的特征值，并以 $O$ 表示 $n$ 阶零矩阵。完成以下各问：

1. 设 $n=2$、$a\in\mathbb C$，且 $X\in\operatorname{Mat}(2)$ 满足

   $$\det(f_A(X))=a.$$

   用 $a$ 表示矩阵 $f_A(X)$ 的两个特征值。

2. 若 $X\in\operatorname{Mat}(n)$ 满足 $f_A(X)=O$，证明 $A$ 与 $X$ 可以由同一个可逆矩阵同时对角化。

3. 若 $X,Y\in\operatorname{Mat}(n)$ 均满足

   $$f_A(X)=f_A(Y)=O,$$

   证明

   $$XY=YX.$$

4. 当 $A$ 为对角矩阵时，求线性映射 $f_A$ 的像空间维数

   $$\dim f_A(\operatorname{Mat}(n)).$$

Kai

(i) $f_A(X)$ の固有値

$n=2$ のとき、トレースの巡回性から

$$\operatorname{tr}f_A(X) =\operatorname{tr}(AX-XA)=0.$$

$f_A(X)$ の二つの固有値を $\mu_1,\mu_2$ とすると、

$$\mu_1+\mu_2=0,\qquad \mu_1\mu_2=\det f_A(X)=a.$$

したがって $\mu_2=-\mu_1$ かつ $\mu_1^2=-a$ であり、固有値は重複も含めて

$$\boxed{\mu=\pm\sqrt{-a}}$$

である。

(ii) $A$ と $X$ の同時対角化

$A$ の相異なる固有値を $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ 、対応する固有ベクトルを $v_1,\ldots,v_n$ とする。 $AX=XA$ なら、

$$A(Xv_i)=X(Av_i)=\lambda_iXv_i.$$

したがって $Xv_i$ は $\lambda_i$ の固有空間に属する。この固有空間は一次元なので、ある $\xi_i\in\mathbb C$ により

$$Xv_i=\xi_iv_i$$

と書ける。 $P=(v_1,\ldots,v_n)$ とすれば、

$$P^{-1}AP=\operatorname{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n), \qquad P^{-1}XP=\operatorname{diag}(\xi_1,\ldots,\xi_n).$$

よって $A$ と $X$ は同時対角化可能である。

(iii) $X$ と $Y$ の可換性

(ii) と同じ固有ベクトル基底では、 $A$ と可換な $X,Y$ はともに対角行列になる。したがって

$$P^{-1}XYP =(P^{-1}XP)(P^{-1}YP) =(P^{-1}YP)(P^{-1}XP) =P^{-1}YXP$$

であり、 $XY=YX$ である。

(iv) 像の次元

$A=\operatorname{diag}(a_1,\ldots,a_n)$ とし、 $X=(x_{ij})$ とすると、

$$\{f_A(X)\}_{ij}=(a_i-a_j)x_{ij}.$$

$a_i$ はすべて相異なるので、対角成分は常に $0$ であり、非対角成分は任意に指定できる。したがって

$$f_A(\operatorname{Mat}(n)) =\{Y=(y_{ij})\mid y_{ii}=0\}$$

であり、

$$\dim f_A(\operatorname{Mat}(n))=n^2-n$$

となる。