京都大学 情報学研究科 数理工学専攻 2016年8月実施 基礎数学 I

标签：

• Kyoto-University
• Definite-Integral
• Integration

Author

思齐塾, 祭音Myyura

Description

$a > 0$を実数として、半無限区間 $[0, \infty)$ 上で定義された関数 $f(x) = e^x - ax^2$ を考える。 $f(x)$ が狭義単調増加であるとき、以下の問いに答えよ。

(i) $f(x)$ は狭義単調増加である。定数 $a$ が取り得る値の範囲を求めよ。

(ii) 関数 $y = f(x)$ の逆関数を $f^{-1}(y)$ とする。定積分 $F(a) = \int_1^{f(a)} f^{-1}(y) dy$ の値を求めよ。

(iii) $b$ を実数として, $F(a) = b$ を満たす定数 $a$ が (i) で求めた範囲にただ一つ存在するものとする。ただし、 $F(a)$ は (ii) で求めたものである。定数 $b$ の値の範囲を求めよ。

题目描述

设 $a>0$，在半无限区间 $[0,\infty)$ 上定义

$$f(x)=e^x-ax^2.$$

围绕 $f$ 严格单调递增的情形，完成以下各问：

1. 求使 $f$ 在 $[0,\infty)$ 上严格单调递增的常数 $a$ 的取值范围。

2. 记 $y=f(x)$ 的反函数为 $f^{-1}(y)$。计算

   $$F(a)=\int_1^{f(a)}f^{-1}(y)\,dy.$$

3. 设 $b\in\mathbb R$，并要求方程

   $$F(a)=b$$

   在第 1 问所得的 $a$ 的取值范围内恰有一个解。这里 $F$ 为第 2 问求得的函数。求 $b$ 的取值范围。

Kai

(i)

導関数は

$$f'(x)=e^x-2ax$$

である。 $x>0$ に対して

$$g(x)=\frac{e^x}{x}$$

とおくと、

$$g'(x)=\frac{e^x(x-1)}{x^2}$$

なので、 $g$ は $x=1$ で最小値 $e$ をとる。したがって $f'(x)\geq 0$ がすべての $x\geq 0$ で成り立つ条件は $2a\leq e$ である。

$0<a<e/2$ ならば $f'(x)>0$ である。 $a=e/2$ のときも $f'(x)\geq 0$ で、等号となるのは $x=1$ だけである。任意の $0\leq x_1<x_2$ に対して区間内の一点を除けば $f'(x)>0$ なので、

$$f(x_2)-f(x_1)=\int_{x_1}^{x_2}f'(x)\,dx>0$$

である。よって、この端点でも $f$ は狭義単調増加である。以上より、

$$\boxed{0<a\leq\frac{e}{2}}$$

となる。

(ii)

固定した $a$ に対して $y=f(x)$ と変数変換する。 $f(0)=1$ であり、(i) により $f$ は狭義単調増加なので $f^{-1}(1)=0$ である。したがって

$$\begin{aligned} F(a) &=\int_0^a xf'(x)\,dx\\ &=[xf(x)]_0^a-\int_0^a f(x)\,dx\\ &=a(e^a-a^3) -\int_0^a(e^x-ax^2)\,dx\\ &=ae^a-a^4-\left(e^a-\frac{a^4}{3}-1\right) \end{aligned}$$

となる。よって

$$\boxed{F(a)=(a-1)e^a-\frac{2}{3}a^4+1}$$

である。

(iii)

ここでは $f$ 自体もパラメータ $a$ に依存するため、 $F$ の導関数は (ii) の最終式から計算する。すると

$$F'(a)=ae^a-\frac{8}{3}a^3 =a\left(e^a-\frac{8}{3}a^2\right)$$

である。

$$H(a)=\frac{e^a}{a^2}$$

とおくと、 $0<a<2$ では

$$H'(a)=\frac{e^a(a-2)}{a^3}<0$$

である。また、

$$\lim_{a\downarrow0}H(a)=+\infty, \qquad H\left(\frac e2\right)<\frac83$$

なので、区間 $(0,e/2)$ に

$$e^\alpha=\frac83\alpha^2$$

を満たす $\alpha$ がただ一つ存在する。 $F$ は $(0,\alpha)$ で狭義単調増加し、 $(\alpha,e/2]$ で狭義単調減少する。

端点側の値を

$$B_0=F\left(\frac e2\right) =\left(\frac e2-1\right)e^{e/2}-\frac{e^4}{24}+1$$

とおき、最大値を

$$B_{\max}=F(\alpha) =(\alpha-1)e^\alpha-\frac23\alpha^4+1$$

とおく。 $F(0)=0$ であり、増加枝の値域は $(0,B_{\max}]$ 、減少枝の値域は $[B_0,B_{\max}]$ である。したがって $0<a\leq e/2$ において $F(a)=b$ がただ一つの解をもつのは、

$$\boxed{0<b<B_0\quad\text{または}\quad b=B_{\max}}$$

の場合である。