京都大学 情報学研究科 数理工学専攻 2015年8月実施 オペレーションズ・リサーチ

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Casablanca

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日本語版

関数 は2回連続的微分可能な関数とし、 は でない 次元ベクトルとする。

次の非線形計画問題を考える。

ただし、 はベクトルの転置を表す。 は問題 P の大域的最適解とする。

さらに、次の非線形計画問題を考える。

ただし、 は非負の整数であり、 は以下に定義された関数である。

問題 の大域的最適解を とする。さらに、, と仮定する。

以下の問いに答えよ。

(i) 任意の非負の整数 に対して が成り立つことを示せ。

(ii) , となることを示せ。

(iii) 問題 のカルーシュ・キューン・タッカー (Karush-Kuhn-Tucker) 条件を書け。

(iv) 十分大きな に対して、 となることを示せ。

(v) となることを示せ。

English Version

Kai

(i)

(ii)

By (i) we have

which implies that

and then we have

since is optimal, we have

thus

(iii)

Lagrangian

(iv)

and

when is sufficiently large, we have

then

thus

therefore

(v)

from KKT-conditions:

let , we get